人教A版数学必修五1.1.1 正弦定理 同步教学课件（23张PPT）

定义：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
A
B
C
a
b
c
解三角形就是：由已知的边和角，求未知的边和角。
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系
知识回顾：
a+b>c, a+c>b, b+c>a
（1）三边：
（2）三角：
（3）边角：
大边对大角
A
B
C
a
b
c
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
不难得到:
C
B
A
a
b
c
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
A
c
b
a
C
B
(1) 若直角三角形,已得结论成立.
所以AD=csinB=bsinC, 即
同理可得
D
A
c
b
C
B
图1
过点A作AD⊥BC于D,
此时有　
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
且
仿(2)可得
D
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
此时也有
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
C
A
c
b
B
图2
（1）文字叙述
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等.
（2）结构特点
和谐美、对称美.
正弦定理:
证明：
O
C/
c
b
a
C
B
A
作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,

＝
＝
（2R为△ABC外接圆直径）
＝
2R
在一个三角形中各边和它所对角的正弦的
比相等.
正弦定理的应用：解三角形
（边化角）
（角化边）
在 中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且
解三角形。
解：由正弦定理 得：
正弦定理应用一：
已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例 1：
1、在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b.
解：
且
∵
∴
b =
=
∵
∴
a =
=
B
A
C
b
c
a
练习
例 2
已知a=16， b= ， A=30° .
求角B，C和边c
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当 时
Ｂ＝60°
当Ｂ＝120°时
C=180°-A-B=30°
C=180°-A-B=90°
正弦定理应用二：已知两边及其一边的对角
例 2
已知a=16， b= ， A=30° .
求角B，C和边c
已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当 时
Ｂ＝60°
C=180°-A-B=90°
C=180°-A-B=30°
当Ｂ＝120°时
300
A
B
C
16
3
16
∵ b > a 　∴ B > A ,
C=180°-A-B=90°
16
B
三角形中大边对大角
所以
Ｂ＝300,
或Ｂ＝1500
由于1500 +450>1800
故B只有一解　（如图）
C=1050,
变式: a=4, b= , A=45°求角B，C和边c
解：由正弦定理
得
450
A
B
C
4
三角形中大边对大角
变式: a=4, b= , A=45°求角B，C和边c
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝300,
C=1050,
∵a > b 　∴ A > B ,
三角形中大边对大角
450
A
B
C
4
在 中，已知 解三角形.
解：由正弦定理，得
故此三角形无解。
（边化角）
（角化边）
正弦定理:
定理变式:
（边化角）
（角化边）
1、在 中，已知
解三角形.
2、在 中，已知
解三角形.