5.2反比例函数的图象与性质（第二课时）

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九年级数学(上)第五章 《反比例函数》
5.2反比例函数的图象与性质（第二课时）
反比例函数
复习回顾
画函数图象的一般步骤
反比例函数是一条双曲线，它
所在象限与k的关系怎样？
重要结论：
反比例函数的图象是由两支曲线组成的
（通常称为双曲线）.
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
列表 描点 连线
练习：
1.若关于x,y的函数 图象位于第一、三象限，
则k的取值范围是_______________
k>－1
2.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，
把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ ）
C
在实际问题中
图象就可能只
有一支.
3．如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是 （ ）
B
A
C
D
D
先假设某个函数
图象已经画好，
再确定另外的是否
符合条件.
4.已知反比例函数 的图象
在 第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（ ）
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限
C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限
C
k>0
5.已知点（－m,n）在反比例函数的图象上，则
它的图象也一定经过点__________
(m, －n)
以前我们学习了一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,知道了
当k>0时, y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.
那么反比例函数图像增减性是怎样的？
思考:
观察反比例函数 的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
第一、三象限内
x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象在第三象限。
在每一个象限内，y随x的增大而减小
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时，图象在第三象限？
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
Y变小
Y变小
如果k=－2, －4,－6,那么
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
当　　 时，在　　　 　内，　　
　随　的增大而　　　．
O
观察反比例函数　　　　　 的图象,说出y与x之间的变化关系:
A
B
O
C
D
A
B
C
D
减少
每个象限
当　　 时，在　　　 　内，　　
　随　的增大而　　　．
增大
每个象限
重要结论
反比例函数的图象，
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
反比例函数图像的发展趋势：
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:
(1)它们会与坐标轴相交吗？
（2）反比例函数的图象是轴对称图形吗？
（3）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
它们都不与坐标轴相交。
是轴对称图形,它们有两条对称轴.
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
y =
x
6
x
y
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
解：（１）设这个反比例函数为　　　，
解得： ｋ＝１２
∴这个反比例函数的表达式为
∵ｋ＞０
∴这个函数的图象在第一、第三象限，
在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。
∵图象过点A（2，6）
（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入　　　　　，可知点Ｂ、
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，
所以点Ｂ、点Ｃ在函数　　　　　的图象上，点Ｄ不在这个
函数的图象上。
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
做一做：
1．用“＞”或“＜”填空：
　（1）已知　　　和　　　是反比例函数　　　的两对自变
　　　 量与函数的对应值．若　　　　　，则　　 　　 　．
　（2）已知　　　和　　　是反比例函数　　　 的两对自变
　　　 量与函数的对应值．若　　　　　，则　　 　　 　．
>
>
>
>
2．已知（　　 ），（　　 ），（ 　　 ）是反比例函数
　 的图象上的三个点，并且　　　　　　　　，则
　 　　　　　的大小关系是（　　）
　 （A）　　　　　　　　 （B）
（C）　 （D）
3．已知（　　 ），（ 　 ），（ 　　 ）是反比例函数
　 的图象上的三个点，则 的大小关系是
　　　　　　　　　　．
4．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0　　y 1；
（2）当x≤5时，则y 　 1,或y＜　　（3）当y＞5时，求x
的取值范围.
C
<
<
≥
0
例2：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样的大小关系？
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。
∵函数的图象在第一、第三象限
∴　ｍ－５＞０
解得 ｍ＞５　
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′
例2：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样的大小关系？
1.函数 的图象在第_____象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ .
y =
x
5
3.函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .
4.对于函数 ，当 x<0时，y 随x的_____而增大，这部分图象在第 ____象限.
5.函数 , y 随 x 的减小而增大，则m= ____.
y =
1
2x
m-2
x
y =
y =(2m+1)xm+2m-16
2
二,四
减小
m < 2
三
3
增大
x
y
小试 牛刀
随堂练习
1.下列函数中，其图象位一第一、三象限的有____________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
（1）（2）（3）
(4)
例1 已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
解：∵k=4>0
∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小
∵x10, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限点C(3,y3)在第一象限。
∴y3>0, y2 例2 已知反比例函数 ，y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
P
D
o
y
x
1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
(m,n)
1
S△POD =　OD·PD
　　
= 　
　　
=
P
Q
S1
S2
S1、S2有什么关系？为什么？
反比例函数
R
S3
思考：
反比例函数 上一点P（x0，y0），过点P作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则四边形AOBP的面积为 ；且S△AOP S△BOP 。
=
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是 .
x
y
o
M
N
p
应用迁移,巩固提高
考点一:反比例函数的性质.
例1:（1）在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的面积S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2 有什么关系？（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图形重合吗？
K
Q（x2,y2）
H
O
N
P（x1,y1）
M
x
y
(k ≠0)
设反比例函数 (k≠0),如图示,
(1)S1=PM PN= x1 y1 = x1 y1 ;
∵P是双曲线上一点,∴ ,
即x1 y1 =k,∴S1= k .同理,S2= k
∴S1=S2
y =
k
x
解:
.
.
.
y1 =
k
x1
.
应用迁移,巩固提高
考点一:反比例函数的性质.
例1:（1）在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的面积S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2 有什么关系？（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图形重合吗？
K
Q（x2,y2）
H
O
N
P（x1,y1）
M
x
y
(k ≠0)
解:
(2)能,反比例函数的图象是一个关于原点为中心的中心对称图形.
注意:同时反比例函数的图象也是关于y=x和关于y= - x的轴对称图形.
应用迁移,巩固提高
考点二:反比例函数与一次函数的综合运用.
例2.如图在Rt△AOB中,∠AOB=90°,点B在x轴上, 点A是直线y=x+m与双曲线 在第一象限的交点,且 S△AOB=3;求(1)m的值,(2)S△ACB的值.
y =
m
x
解:
O
x
y
A
B
(1)设A(x,y),则
S△AOB= OB AB= xy
1
2
.
1
2
∵xy=m,∴m/2=3,∴m=6.
∵∴∴∵∴∴
y=x+6
y =
6
x
y =
6
x
(2)直线y=x+6,双曲线 组成方程组
∴x1= - 3+ 15,
x1= - 3- 15 (不合题意) ,
∴y1= 3+ 15　∴A(- 3+ 15, 3+ 15)
.
∴S△ABC=1/2(BC AB)=12+3 15
应用迁移,巩固提高
考点二:反比例函数与一次函数的综合运用.
例3.请在同一坐标系中,画出y=ax+b与 (其中ab≠0)的可能的大致图象.
y =
ab
x
x
b
y
O
x
y
O
b
x
y
O
x
y
O
应用迁移,巩固提高
考点二:反比例函数与一次函数的综合运用.
例4.(2004贵阳)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M,N两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于
一次函数的值的x的取值范围.
y =
k
x
x
y
O
M(2,m)
N(-2,-4)
应用迁移,巩固提高
考点二:反比例函数与一次函数的综合运用.
例4.(2004贵阳)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M,N两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于
一次函数的值的x的取值范围.
y =
k
x
x
y
O
M(2,m)
N(-2,-4)
解:
(1)点N(-1,- 4)在反比例函数的图象上,
∴ ∴k=4
∴反比例函数的解析式
-4 =
k
-1
y =
4
x
∵M(2,m)在反比例函数的图象上,
m =
4
2
∴ =2,
故点M(2,2)
将N(-1,- 4),M(2,2)代入y=ax+b中,
2a+b=2
-a+b= - 4
a=2
b= - 2
∴一次函数是y=2x-2
(2)由图象可知:
当x<-1,或0应用迁移,巩固提高
考点二:反比例函数与一次函数的综合运用.
例5.(2004成都)已知反比例函数 和一次函数y= - x – 6.(1)若一次函数和反比例函数的图象交于点( -3,m),求m和k的值.(2)当k= -2时,设(2)中的两个函数图象的交点分别为A,B.试判断此时A,B两点分别在第几象限 ∠AOB是锐角还是钝角 (只要求写出结论).
(k ≠0)
y =
k
x
x
y
O
A
B
解:(1)
∵一次函数和反比例函数的图象都交于点(- 3,m)
∴
m=
-3
k
m=3- 6= -3
m= -3,k=9
(2)由题意可得: ,化简得x2+6x+k=0
要使两个函数的图象有两个不同的交点,必须使方程x2+6x+k=0有两个不相等的实数根,∴△=62 - 4k>0,解得k<9又k≠0∴当k<9且k≠0时,这两个函数的图象有两个不同的交点.
y=
x
k
y= - x - 6
总结与反思
一.总结:
1.本节学习的数学知识:
(1)_____________________________,
(2)______________________________________________.
反比例函数的图象与性质
能将一次函数与反比例函数的图象与性质综合运用
2.本节学习的数学方法:____________________________.
数形结合,待定系数法
二.反思:
反比例函数 (k≠0) 中的比例系数k有什么几何意义
y =
k
x
过双曲线上任意一点作x轴,y轴的垂线,所得的矩形的面积为 k .