人教版数学九 年级下册27.2.2相似三角形的性质教案

第二课时
相似三角形、探索三角形相似的条件
教学难点：1、相似三角形的有关概念
2、相似三角形的性质
3、判定三角形相似的方法及思路
教学内容:
1、
相似三角形的有关概念：
相似三角形：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
A
A’
B
C
B’
C’
记法：△ABC与△A’B’C’相似，记作△ABC∽△A’B’C’。读作△ABC相似于△A’B’C’
注意：a对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。找对应元素同全等三角形。
b顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC∽△A’B’C’
他们的相似比为k，则k=,如果写成△A’B’C’∽
△ABC，它们的相似比是k’,则
k‘=，因此k=
c传递性：若△ABC∽△A’B’C’，
△A’B’C’∽
△A‘‘B’’C’’,则△ABC∽△A‘‘B’’C’’
例1试说出图中有哪几对相似三角形，并求出
相似三角形的对应边的比例。
二、相似三角形的性质
：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比。（根据这一性质可以计算角的度数或变得长度）
例2
△ABC∽△A’B’C’，∠A=70o,∠B=60o,求∠C’的度数。
例3已知△AOB∽△DOC，若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长。
易错点：
例4如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从A开始沿边AB向B点以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4m/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ和△ABC相似。（注意两种情况如图）
常见考法：a求角的度数如例2
,
b求边的长度
如例3
，
c求三角形的周长，如
：两个相似三角形最长边分别是35cm和14cm，其中较大一个三角形的周长为60cm，
则另一个三角形的周长是　　　　．
d求边的比值
，e三角形在生活中的应用。
2、
判定三角形相似的方法及思路
判定三角形相似的条件：
1、
定义法：对应角相等，对应边成比例
数学语言：若∠A=∠A‘，∠B=∠B’,∠C=∠C’,且，
2、
平行法：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交
数学语言：若DE//BC,
则△ABC∽△ADE
3、
角的关系：有两角对应相等
数学语言：若∠A=∠A‘，∠B=∠B’,
则△ABC∽△A’B’C’
4、
边的关系：三边对应成比例
数学语言：若，则△ABC∽△A’B’C’
5、
边和角的关系：两边对应成比例且夹角相等
数学语言：若,且∠A=∠A‘，则△ABC∽△A’B’C’
注：a应用角的关系证明相似时，关键是寻找对应角。在证明过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角的余角或补角”都是相等的。
b应用边和角的关系，证明相似时，一定注意是“夹角”相等，而不是对角或邻角
基本思路：
先找两个角对应相等的条件，因为用它来判断三角形相似比较简单。若只找到一个角对应相等，可再找相应角的两条夹边对应成比例。若已有两边对应成比例的条件，应找它们的夹角相等，以上均不奏效，就只能找三边对应成比例的条件了。
三、相似三角形的基本图形及常用结论
（1）
平截型（A型和X型）
如果DE//BC,就可以得到“A型”和“X型”两种平截型相似基本图形。
结论：a△ADE∽△ABC；
b等。
（2）
斜截型（斜A型和斜X型）
两种斜截型的相似基本图形：“斜A型”和“斜X型”。
若∠CDE=∠A,∠CDE=∠B,则△CDE∽△CAB.
若∠D=∠A,∠B=∠E,则△DCE∽△ACB。
（3）
公边公角型
将斜A型中的线段DE向下移，当点D与点B重合时就可得到一种具有公共边和公共角的相似基本图形。
公边公角型的重要结论：在有公共边公共角的两个相似三角形中，公共边是两个三角形落在一条直线上的两边的比例中项。
若∠CBE=∠A,∠CEB=∠CBA，则△ABC∽△BEC。推导的结论：或BC2=AC·EC。
4、
题型
1、
条件开放型问题
例5如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC
上的点，当添一个条件________时，△ADE与△ABC相似.
2、
结论开放型问题
例6如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o
,点D是AC上一点，∠ABD=∠C,直线EF过点D,与BA的延长线相交于点F，且EF⊥BC垂足为点E。
（1）
写出图中所有与△BAD相似的三角形：
（2）
探索：设是否存在这样的t值，
使得△ADF∽△EDB?并说明理由。
5、
相似三角形的应用的三种类型：
1、
解决同一时刻物高和影长的问题：（在同一时刻物高和影长成正比）
2、
利用相似测量不易直接测量的物体的高度或宽度;
3、
利用相似图形进行图形方案设计等。
应用相似三角形解决问题的两个原则：
利用相似三角形的有关知识解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的三角形中被测物体必是其中的一边。
构造三角形的方法很多，只需把握所构造的三角形除被测物体外其余的对应边易测量这一原则。
例7如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长
分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，
则旗杆的高约为
m．
例8数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2,4米，则树高为
米．
思考：
如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12
m，塔影长DE=18
m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（
）
A．24m
B．22m
C．20
m
D．18
m
巧构相似，妙证等积
1、
如图在△ABC中，∠B=2∠C,证明AC2=AB2+AB.BC.
2、等腰△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D，
试说明BC2=2AC.CD
3、如图，△ABC和△ABD在公共边的同旁，
AC和BD交于点E，且∠C+∠D=180o
,试证明
AB2=AE.AC+BE.BD.
1m
6m