北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角的关系 同步习题（Word版 含解析）

3.4圆周角和圆心角的关系 同步习题
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠CEB的度数为（　　）
A．110° B．115° C．120° D．105°
2．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3，∠BAC＝30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．+
3．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
5．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若CD＝2，AC＝6，则DE＝（　　）
A． B．5 C． D．4
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．直径所对的弧是半圆
B．相等的圆周角所对的弦相等
C．两个半圆是等弧
D．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
7．如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（　　）
A． B．﹣ C． D．
8．如图，A、B、C三点在⊙O上，D是CB延长线上的一点，∠ABD＝40°，那么∠AOC的度数为（　　）
A．80° B．70° C．50° D．40°
9．如图，BC是⊙O的直径，点A、C1是圆上两点，连接AC、AB、AC1、BC1，若∠CBA＝25°，则∠C1的度数为（　　）
A．85° B．75° C．65° D．55°
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝4：1，则∠A＝　 　°．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC＝BD＝AB，若∠AEB＝70°，则∠AOB等于　 　°．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADE的度数为　 　．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E．若∠AOB＝120°，∠OBC＝50°，则∠OEC的度数为　 　°．
15．如图，在⊙O中，C是的中点，作点C关于弦AB的对称点D，连接AD并延长交⊙O于点E，过点B作BF⊥AE于点F，若∠BAE＝2∠EBF，则∠EBF等于　 　度．
三．解答题
16．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，弦AC、DB的延长线交于点E，弦AD、CB的延长线交于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若BD＝3，CE＝4，求⊙O的直径．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）若BE＝2，CD＝8，求AD的长．
18．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．
（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝　 　，∠ACB＝　 　°；
（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．
参考答案
一．选择题
1．解：连接BC．
∴∠ADC＝∠B，
∵∠ADC＝40°，
∴∠B＝40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°+50°＝110°．
故选：A．
2．解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，
则FB＝FB′，
∴FB+FE＝FB′+FE＝B′E，
此时FB+FE的值最小，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B′AC＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∵AB＝AB′，
∴△ABB′为等边三角形，
∵B′E⊥AB，
∴AE＝BE＝，
∴B′E＝AE＝，
即BF+EF的最小值为．
故选：B．
3．解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
4．解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，
故选：C．
5．解：连接OC、BC、OE、BD，OE交⊙O于F，OD交BC于G，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，CG＝BG，DB＝DC＝2，∠BOD＝∠COD，
∵E是AC的中点，
∴OE⊥AC，＝，
∴∠AOF＝∠COF，
∴∠DOF＝×180°＝90°，
∵OA＝OB，BG＝CG，
∴OG∥AC，OG＝AC＝3，
设⊙O的半径为r，则DG＝r﹣3，
在Rt△OBG中，BG2＝r2﹣32，
在Rt△DBG中，BG2＝（2）2﹣（r﹣3）2，
∴r2﹣32＝（2）2﹣（r﹣3）2，解得r1＝﹣2（舍去），r2＝5，
∴OD＝5，
∴BG＝＝4，
易得四边形OGCE为矩形，
∴OE＝CG＝BG＝4，
在Rt△DOE中，DE＝＝．
故选：A．
6．解：A、直径所对的弧是半圆，正确，符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故原命题错误，不符合题意；
C、半径相等的两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；
D、同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半，故原命题错误，不符合题意，
故选：A．
7．解：连接BC，如图，
∵B（﹣4，0），C（0，3），
∴OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴sin∠OBC＝＝，
∵∠ODC＝∠OBC，
∴sin∠CDO＝sin∠OBC＝．
故选：A．
8．解：所对的圆周角∠AEC，如图，
∵∠ABD＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∵∠AEC+∠ABC＝180°，
∴∠E＝40°，
∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．
故选：A．
9．解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠CBA＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠CBA＝65°，
∴∠C1＝∠C＝65°；
故选：C．
10．解：连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中，
，
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝2+x，BE＝4﹣x，OB＝2，
∵∠OBE＝90°，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
故选：B．
二．填空题
11．解：
设∠A＝4x°，∠C＝x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴4x+x＝180，
解得：x＝36，
即∠A＝144°，
故答案为：144．
12．解：延长AO交BC于点G，延长BO交AD于点H，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AG⊥BC，BG＝CG，
∴∠CAO＝∠BAO，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴BH⊥AD，AH＝DH，
∴∠ABO＝∠DBO，
∵∠AEB＝70°，
∴∠ABO+∠OAB＝（∠EAB+∠EBA）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125．
13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC＝110°，
故答案为：110°．
14．解：连接OD，
∵D是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOB＝60°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠BOD＝30°，
∴∠OEC＝∠BCD+∠OBC＝80°，
故答案为：80．
15．解：设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90°﹣x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180°﹣4x，
∵∠ACB+∠AEB＝180°，
∴180°﹣4x+90°﹣x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为18．
三．解答题
16．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵B是的中点，
∴＝，
∴BC＝BD，
在△BCE和△BDF中
，
∴△BCE≌△BDF（ASA），
∴BE＝BF；
（2）解：∵BC＝BD＝3，
而CE＝4，
∴BE＝＝＝5，
∵AC＝，AD＝，
而BC＝BD，
∴AC＝AD，
设AC＝AD＝x，
在Rt△ADE中，x2+82＝（x+4）2，解得x＝6，
即AC＝6，
在Rt△ACB中，AB＝＝3，
即⊙O的直径为3．
17．（1）证明：∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠AGD＝∠ADC，
∵四边形ABCG是圆内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：连接OD，如图，
∵CD⊥AB，CD＝8
∴DE＝CE＝4，
在Rt△DOE中，∵DO2＝OE2+ED2，
∴DO2＝（OD﹣2）2+42，解得OD＝5，
∴AE＝10﹣2＝8，
∴AD＝．
18．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，
∴AC＝OA，
∵OC＝OA，
∴OC＝OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC＝1，∠ACO＝60°，
∵PC⊥OA，
∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，
故答案为：1；30．
（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，
∵BC⊥OA，
∴PB＝PC，
∴AB＝AC，
∵OB＝CO，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴S△ABO＝S△ACO＝S1，
∴S1+S2＝S3，
∵，
∴，
∴S12+S1S2﹣S22＝0，
∴﹣1＝0．
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵CE为直径，
∴∠CBE＝90°，
∴AO∥BE，
∴△AOD∽△BED，
∴，
∵OE＝OC，
∴OP＝BE，
∴，
∴+1，
∴，
∴．