苏科版九年级数学下册 5.5 用二次函数解决问题 同步测试题（Word版 含答案）

5.5
用二次函数解决问题
同步测试题
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么，小球从抛出至回落到地面所需的时间是（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
心理学家发现：学生对概念的接受能力与提出概念的时间之间是二次函数关系，当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为；当提出概念时，学生对概念的接受能力就剩下，则与满足的二次函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是（
）
A.此抛物线的解析式为
B.当时，随着的增大而增大
C.此抛物线与直线只有一个交点
D.在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
?5.
一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，其顶点在轴的负半轴上，且，对于下列结论：①；②；③关于的方程无实数根；④.其中正确结论的个数为(?
?
?
?
)
A.个
B.个
C.个
D.个
?
8.
一台机器原价万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与的函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
用长达的一根绳子，围成一个矩形，其面积的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（
）
A.第秒
B.第秒
C.第秒
D.第秒
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?11.
将一根长的铁丝围成一矩形，试写出矩形面积与矩形一边长之间的关系式________．
?
12.
如图，直线与坐标轴交于、两点，过，两点的抛物线与轴的另一交点为，为抛物线上的一动点，当时，点的坐标为________．
?13.
抛物线的图象与轴有两个交点，，且经过点，其中．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且．求该抛物线的解析式________．
?
14.
在边长为的正方形中间挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为________．
?
15.
从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球运动时间（秒）之间的函数关系式是＝，则小球运动到的最大高度为________米．
?
16.
有一个边长为的正方形，若边长增加，则面积的增加值与边长的增加值之间的函数关系式是________．
?
17.
飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_______秒．
?
18.
永嘉县九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系，设篮球出手后离地的水平距离为，高度为，则关于的函数解析式是________．
?
19.
小迪同学以二次函数＝的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若＝，＝，则杯子的高为________．
?20.
在距离地面高的某处把一物体以初速度竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度与抛出时间满足：（其中是常数，通常取）．若，则该物体在运动过程中最高点距地面________．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，共计60分
，
）
?21.
已知抛物线的顶点在轴上.
若点是抛物线最低点，且落在轴正半轴上，直接写出，，
的取值范围；
，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当的绝对值为时，为等腰直角三角形（其中.
①求抛物线的解析式；
②设中点为，若，求点纵坐标的最小值．
?
22.
某商场销售一种成本为每件元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式；
（2）如果商场想要销售该种商品每月获得元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件元，同时对商场的销售量每月不小于件的商场，政府部门给予每件元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
?
23.
某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午点开放，而无人售票窗口从上午点开放，某日从上午点到点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间（小时）的变化趋势如图，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图，若该日截至上午点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
求图中所确定抛物线的解析式；
若该日共开放个无人售票窗口，截至上午点，两种窗口共售出的车票数不少于张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
?
24.
年，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，零售额得以逆势增长．若某商家通过“直播带货”销售一种成本（包括进价及发货时的快递费用等）为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）满足，设每周销售这种商品的利润为（元）．
求与之间的函数关系式；
若每周至少销售件，求的最大值．
?
25.
把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为（秒）时该足球距离地面的高度（米）适用公式．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？
（3）若存在两个不想等的实数，能使足球距离地面的高度都为（米），请直接写出的取值范围．
?
26.
某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了天的试销售，购进价格为元/件．销售结束后，得知日销售量（件）与销售时间（天）之间有如下关系：（，且为整数）；销售价格（元/件）与销售时间（天）之间有如下关系：（，且为整数）．
（1）试求出该商店日销售利润（元）与销售时间（天）之间的函数关系式；
（2）在这天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
D
【解答】
解：由题意第二次降价后的价格是．
则函数解析式是．
故选．
2.
【答案】
A
【解答】
解：由题意可得：时，，
解得：，，
故小球从抛出至回落到地面所需的时间是：秒．
故选：．
3.
【答案】
D
【解答】
解：设抛物线解析式为：，
将代入得：
，
解得：，
故：．
故选：．
4.
【答案】
C
【解答】
解：∵
，而，，
∴
，，即，，，
∴
二次函数的解析式为，故错误．
∵
二次函数的对称轴为，
∴
当时，随着的增大而先减小再增大，故错误．
∵
此二次函数的最小值为，
∴
此抛物线与直线只有一个交点，正确．
∵
要使的面积等于，须使到轴的距离为，这样的点共有个，故错误．
故选：．
5.
【答案】
A
【解答】
解：在中，
当时，有最大值为．
则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为．
故选．
6.
【答案】
C
【解答】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．
当时代入到抛物线解析式得：
，
解得或．
则由图可知点，点，
∴
．
设直线的解析式为：．
代入，求得：，
则该直线与轴的交点为：当时，．
∴
点．
故选．
7.
【答案】
D
【解答】
解：①∵
二次函数的图象与轴的正半轴交于点，
其顶点在轴的负半轴上，可知，，，
∴
，
∴
，故①正确；
②∵
函数顶点在轴的负半轴上，令，
得，故②正确；
③∵
函数顶点在轴的负半轴上，
∴
，
又∵
，，
其,
∴
关于的方程无实数根，故③正确；
④∵
，∴
，即,
∴
，故④正确.
综上可知正确的结论有个.
故选.
8.
【答案】
A
【解答】
解：二年后的价格是为：，
则函数解析式是：．
故选．
9.
【答案】
C
【解答】
解：设围成的矩形长边为，则短边为，
所以，
∵
该面积公式的函数图象开口向下．
∴
当时，面积最大为，即．
故选．
10.
【答案】
B
【解答】
解：∵
此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
∴
抛物线的对称轴是：，
∴
炮弹所在高度最高时：
时间是第秒．
故选．
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
11.
【答案】
【解答】
解：由题意得：矩形的另一边长，
∴
．
故答案为：．
12.
【答案】
【解答】
解：设二次函数的解析式为，
则，
解得：，
二次函数的解析式为：，
过点作，交轴于点，延长交轴于点，
则有，
设点坐标为，
∵
，
∴
，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴
点，
∵
，，
∴
，
则有，
即，
∴
，
解得：，
即点，
∵
，
∴
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴
直线的解析式为，
与二次函数的解析式联立得：
，
解得：，，
即点的坐标为．
故答案为：．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，由抛物线经过，，，
其中，
可知抛物线开口向上，与轴两交点在正半轴，
∵
点，是等腰直角三角形，∴
，，
设直线解析式为，
将、两点坐标代入，得，解得，
直线解析式为，
∵
，两三角形同底，的高为，
∴
的高为，即点纵坐标为，把代入中，得，
即，
把、、三点坐标代入中，得
，
解得，
所以，抛物线解析式为，
故答案为：．
14.
【答案】
【解答】
解：设剩下部分的面积为，则：
．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
＝
＝
＝，
则小球运动到的最大高度为．
16.
【答案】
【解答】
解：由题意得：
．
故答案为：．
17.
【答案】
【解答】
解：.
∵
，
∴
二次函数开口向下，
∴
当时，取得最大值，
此时，即飞机的滑行距离，
∴
当时，飞机完全停下来．
故答案为：．
18.
【答案】
【解答】
解：设函数的解析式是：．
根据题意得：
解得：．
则关于的函数解析式是．
19.
【答案】
【解答】
由题意可得：点坐标为：，
∵
＝，
∴
点，横坐标为：，
故＝时，＝＝，
即，
则＝＝，
故＝＝＝．
20.
【答案】
【解答】
解：把，代入得：
，
它是开口向下的一条抛物线，
所以最大值为，此时离地面．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
21.
【答案】
解：∵
顶点是抛物线最低点，
∴
抛物线开口向上，即.
又落在轴正半轴上，
∴
，.
①∵
当时，，则；
当时，，则，
∴
抛物线的对称轴是轴，且开口向上.
又顶点在轴上，
∴
顶点是原点，
∴
抛物线的解析式为，且.
当是等腰直角三角形，时，，
又为顶点，
∴
点关于抛物线对称轴轴对称，
∵
，
∴
，
设交轴于点，则，
∴
点中一个坐标为，另一个为；
把代入，解得，
∴
抛物线的解析式为.
②设直线解析式为：，
把代入中，得
，即，
则，
∴
，
由，根据三角形中位线定理，
得中点，
根据勾股定理，,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
化简得，，
根据二次函数与二次方程的关系，结合图象，
得(负根舍去)，
∴
，
当时，的最小值是.
【解答】
解：∵
顶点是抛物线最低点，
∴
抛物线开口向上，即.
又落在轴正半轴上，
∴
，.
①∵
当时，，则；
当时，，则，
∴
抛物线的对称轴是轴，且开口向上.
又顶点在轴上，
∴
顶点是原点，
∴
抛物线的解析式为，且.
当是等腰直角三角形，时，，
又为顶点，
∴
点关于抛物线对称轴轴对称，
∵
，
∴
，
设交轴于点，则，
∴
点中一个坐标为，另一个为；
把代入，解得，
∴
抛物线的解析式为.
②设直线解析式为：，
把代入中，得
，即，
则，
∴
，
由，根据三角形中位线定理，
得中点，
根据勾股定理，,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
化简得，，
根据二次函数与二次方程的关系，结合图象，
得(负根舍去)，
∴
，
当时，的最小值是.
22.
【答案】
想要每月获得元的利润，销售单价应定为元或元．
（3）当销售量每月不小于件时，即，
解得：，
由题意，得：
∴
当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．
【解答】
解：（1）由题意，得：，
，
（2）由题意，得：，
解这个方程得：，，
答：想要每月获得元的利润，销售单价应定为元或元．
（3）当销售量每月不小于件时，即，
解得：，
由题意，得：
∴
当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．
23.
【答案】
至少需要开放个普通售票窗口．
【解答】
解：设，
当时，，
把代入，
，
解得：，
∴
．
设，
把，分别代入得：
解得：，
∴
，
当时，，，
设需要开放个普通售票窗口，
∴
，
∴
，
∴
取整数，
∴
．
答：至少需要开放个普通售票窗口．
24.
【答案】
解：由题意得
，
即与之间的函数关系式为
．
由题意得，解得．
．
∵
，
∴
当时，有最大值，最大值为．
答：销售这种商品每周的利润的最大值为元．
【解答】
解：由题意得
，
即与之间的函数关系式为
．
由题意得，解得．
．
∵
，
∴
当时，有最大值，最大值为．
答：销售这种商品每周的利润的最大值为元．
25.
【答案】
经过足球能到达最大高度，最大高度是米；
（2）令，得：，
解得：或，
∴
足球从开始踢至回到地面需要秒；
（3）由（1）知足球的最大高度为米，
∴
．
【解答】
解：（1）∵
，
∴
时，最大，最大值为，
答：经过足球能到达最大高度，最大高度是米；
（2）令，得：，
解得：或，
∴
足球从开始踢至回到地面需要秒；
（3）由（1）知足球的最大高度为米，
∴
．
26.
【答案】
在这天的试销售中，第天的日销售利润最大，为元，第天的日销售利润最小，为元．
【解答】
解：（1）该商店日销售利润（元）与销售时间（天）之间的函数关系式为：
（，且为整数）；
（2）∵
，
∴
当时，元，
∵
，
∴
当时，元，
答：在这天的试销售中，第天的日销售利润最大，为元，第天的日销售利润最小，为元．