北师大版数学八年级上册4.3一次函数中图像过点和交点考题探析（Word版，附答案）

北师版数学八年级上册一次函数中图像过点和交点问题探析
一次函数是一个重要考点，也是考题创新的主阵地，它与点的坐标联合，为同学们搭建了一个数学创新平台.
考点1：探求点坐标构成代数式的值
例1（2020?泰州）点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5
B．3
C．﹣3
D．﹣1
解法1
∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上，∴b＝3a+2，
∴6a﹣2b+1=6a-2(3a+2)+1=﹣4+1=﹣3,
∴选C．
解法2
∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上，∴b=3a+2，则3a﹣b=﹣2．
∴6a﹣2b+1=2（3a﹣b）+1=﹣4+1=﹣3，所以选：C．
点评：解法1演绎代数式的值求解思路，通过代入消元的思想实现解题的目标；解法2则是整体思想的运用，这正是考题创新的独特之处.
考点2：数形结合，据交点坐标定方程的解
例2（2020?济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图1，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是
（　　）
A．x＝20
B．x＝5
C．x＝25
D．x＝15
解析：∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P（20，25），∴方程组的解为，∴x+5=ax+b的解为x=20．∴选：A．
点评：
解答时，把握好三个关键点：
1.利用数形结合的思想，确定直线交点的坐标；
2.利用转化思想，把交点的坐标转化为直线解析式构成方程组的解；
3.再次转化，把方程组转化为关于自变量的一元一次方程，对应自变量的值就是该方程的解.
考点3：据一次函数性质确定图像可能过点
例3（2020?安徽）已知一次函数y=kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是
（　　）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：∵y随x的增大而减小，∴k＜0，当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3=3，解得：k=1＞0，∴选项A不符合题意；当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3=﹣2，解得：k=﹣5＜0，∴选项B符合题意；当点A的坐标为（2，3）时，2k+3=3，解得：k=0，选项C不符合题意；当点A的坐标为（3，4）时，3k+3=4，解得：k=
＞0，∴选项D不符合题意．所以选：B．
点评：解答时，遵循如下要领：1.根据一次函数的性质，确定k的属性；2.利用图形过点，点的坐标满足函数的解析式，逐一确定一次函数的k值；3.对照k的标准属性，判断，一致的，为解题所需.
考点4：探求图像经过定点
例4（2020?达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线：y=kx+k+1与直线：y=（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　　；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则=　　，+…+的值为　
．
解析：(1)∵y=kx+k+1，∴（x+1）k=y-1，∵k取任何值，∴关于k的一元一次方程（x+1）k=y-1有无数解，∴x+1=0，y-1=0，解得x=-1,y=1,
∴直线经过定点（-1,1）
∵y=（k+1）x+k+2，∴（x+1）k=y-x-2，∵k取任何值，∴关于k的一元一次方程（x+1）k=y-x-2有无数解，∴x+1=0，y-x-2=0，解得x=-1,y=1,
∴直线经过定点（-1,1）
∴无论k取何值，直线和的交点均为定点（﹣1，1）．
(2)∵直线：y=kx+k+1与x轴的交点为A（-,0），直线：y=（k+1）x+k+2与x轴的交点为B（-,0），则AB=-=，定点为C（-1,1），∴直线和与x轴围成的三角形为三角形ABC，且面积为==，
当k=1时，==；∵==，
∴+…+==
=.∴依次填：（-1,1）；；.
点评：解答时，把握如下几点：一是图像经过定点是特色，解题方法是关键：把定点问题转化为任意取值字母为主元的一元一次方程的无数解问题；二是熟练掌握直线与x轴交点坐标的确定；三是熟练掌握坐标表示线段的长.
考点5：图像过定点，甄别可能的图像
例5（2020?杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是
（　　）
解析：∵函数y=ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∴2=a+a，解得a=1，
∴y=x+1，∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），故选：A．
点评：利用图像过点的坐标，确定a的值，从而确定函数的解析式，根据解析式确定图像是解题甄别的关键.
考点6：甄别与x轴的交点，是否在指定线段上
例6（2020?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2和直线y=x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）
A．y＝x+2
B．y=x+2
C．y＝4x+2
D．y=x+2
解析：∵直线y=2x+2和直线y=x+2分别交x轴于点A和点B，∴A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴交点横坐标满足取值范围是-3≤x≤-1；由于y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0），-2满足取值范围，∴直线y=x+2与x轴的交点在线段AB上；
由于y=x+2与x轴的交点为(-，0）；故直线y=x+2与x轴的交点在线段AB上；
由于y＝4x+2与x轴的交点为（，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
由于yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C．
点评：确定线段两个端点的坐标继而确定自变量x的取值范围是解题的判断标准，确定直线与x轴的交点坐标，判断横坐标是否在指定的范围是解题的关键.