沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例 教案

证明举例（教案）
教学目标
通过动手操作、观察归纳掌握“倍长中线”的辅助线添法。
教学重点
倍长中线的辅助线方法。
教学难点
通过动手操作、观察总结得出延长中线一倍的辅助线添法。
教学过程
新课引入：
提问1
通过前面的学习我们知道了什么是命题，那么命题由哪两部分组成？
提问2
我们来看看下面这句命题的题设和结论分别是什么？“等腰三角形三线合一”
提问3
我们知道这是一条定理，当然它是真命题。如果我们把它的题设和结论互换，那么这条命题怎么叙述呢？他们还是真命题吗？
提问4
我们发现条件有多余，我们能不能用更少的条件得出AB=AC呢？
新课探究：
问题1
已知：△ABC中，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。
求证：AB=AC。
问题2
已知：△ABC中，AD⊥BC，BD=DC。
求证：AB=AC。
（前2个问题由全等得证）
问题3
例1
已知：△ABC中，∠BAD=∠CAD，BD=DC。
求证：AB=AC。
提问1：能不能通过全等来证明？现有条件足以证明全等吗？
提问2：我们分析这个问题难证的原因，∠BAD和∠CAD在两个三角形中，而这两个三角形却不能通过这两个角相等来证得全等。由此我们这样思考，改变这些元素的位置将∠BAD与∠CAD和AB、AC集中在一个三角形中呢？我们如何才能做到只改变这些量的位置不改变他们的大小呢？（图形的运动）因此我们不能把它看作是静止的图形。我们运用图形运动改变△ABD的位置，看看新位置上的AB能否与AC相等？（学生进行操作）
（学生小组讨论、操作、白板演示）
证明：延长AD到E使DE=AD，连接CE
在△ABD与△ECD中，
BD=CD（已知）
∠ADB=∠EDC（对顶角相等）
AD=ED（作图）
∴△ABD≌△ECD
∴EC=AB，∠E=∠BAD（全等三角形对应边对应角相等）
又∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠DAC（角平分线意义）
∴∠E=∠DAC（等量代换）
∴AC=EC（等角对等边）
∴AC=AB（等量代换）
小结：我们再来梳理这个问题的解题思路：这个问题最大的难点是在静止图形下已知条件比较分散。在这种情况下我们的应对方法是将分散的条件相对集中，而图形的运动则是实现这一思路的有效手段。上面问题的解答利用了D是BC的中点这一条件将△ABD绕点D旋转180度，新得到的△DCE与△ABD成中心对称的位置关系，将∠BAD、∠CAD和AB、AC集中在一个三角形中从而使问题得以解决，所以在有中点和中线条件下延长中线一倍，将三角形旋转180形成中心对称的位置关系是一种重要的辅助线的添法。当然图形的运动也不是只有旋转一种，不同的问题要用不同的方法来解决，我们更要掌握好用运动的方法解决静止图形中的问题的思想方法。
例2
已知：
AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD。
求证：（1）AD+BC=AB
（2）BE平分∠ABC
（图略）
分析：AD与BC如何能放在一直线上从而实现相加的运算？
证明：延长AE交BC的延长线于点F
∵AD∥BC（已知）
∴∠D=∠ECF（两直线平行，内错角相等）
在△ADE与△FCE中
∠D=∠ECF（已证）
DE=CE（已知）
∠AED=∠FEC（对顶角相等）
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AE=FE，AD=CF，∠DAE=∠F
（全等三角形对应边、对应角相等）
∵∠BAE=∠DAE（已知）
∴∠BAE=∠F（等量代换）
∴AB=BF（等角对等边）
∴AB=BC+CF即AB=BC+AD
∵AB=BF，AE=EF（已证）
∴BE平分∠ABC
（等腰三角形三线合一）
课后小结
通过这节你有什么收获？
教后记：
本节课是几何证明举例的第7节课，这节课主要目的是掌握倍长中线的辅助线的添法，体验利用图形的运动适当改变角与线段的位置使分散的条件得以集中的运动思想。本节课的设计体现了以下几个特点：
一、充分发挥学生的主体作用
由于学生刚学习了命题因此本节课的设计思路是从学生熟悉的“等腰三角形三线合一”入手，引导学生将此命题的题设结论相互交换再判断真假继而引出书上的例11。由于证明过程中没有条件可证三角形全等，从而引发学生思维的冲突。这时提示学生要改变相等角、边的位置，学生采用操作三角形模型、小组讨论的形式探究解决的方法。由于学生主体作用得以体现，使本节课教学的有效性得到了保证。
二、利用好白板互动性强的优势
在操作三角形模型时学生思路各不相同，形成的图形也多种多样。让有着不同见解学生上白班演示讲解自己的思路进行全班交流，让所有学生都评判各种思路的正确性，最后得到解决问题的正确方法。正是因为运用了白板这一平台，活跃了课堂气氛激发了学生的学习热情，为教学任务的完成提供了保证。