(共33张PPT)
1.4
解直角三角形
数学北师大版
九年级下
角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
三角函数
三角函数值
复习导入
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边.
在三角形中共有几个元素？
新知讲解
新知讲解
三角形中共有六个元素：三边a、b、c，三角∠A、
∠B、
∠C.
C
A
B
新知讲解
C
A
B
在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c，
∠A、
∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？
a
b
c
边边关系：
角角关系：
边角关系：
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
新知讲解
（1）已知两边
不妨设a、b已知，则由a2+b2=c2得到c.
由
,得到∠A，
又由∠B=90°-∠A得到∠B.
C
A
B
a
b
c
请问至少知道了几个元素，就可以求出其他的元素呢?
新知讲解
（2）已知一边一角
若两个已知元素中没有边,则无法运用上面的关系求得三边的长.
不妨设a、∠A已知，先由∠B=90°-∠A得到∠B，
由
得到
，再由
得
C
A
B
a
b
c
新知讲解
在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗?
做一做
解:在Rt△ABC中，a2＋b2=c2,
a=
，b=
，
∴c=
.
在Rt△ABC中,sinB=
∴∠B=30°，∠A=60°.
新知讲解
例1
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=
，b=
，求这个三角形的其他元素.
新知讲解
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
新知讲解
在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗?
想一想
新知讲解
例2
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别
为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素
（边长精确到1
).
新知讲解
解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A
=65°.
∴
∴
∵
∴
新知讲解
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素,这个三角形的所有元素就可以确定下来.
新知讲解
变式1
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为(
)
A.
8
B.
12
C.
D.
C
新知讲解
解：在Rt△ACB中，
∵sinB=
，
∴AB=12．
∴BC=
故选：C．
新知讲解
变式2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=
，则BD的长度为(
)
A.
B.
C.
D.
4
C
新知讲解
解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=
，
∴AB=
，
∴BC=
，
∵∠DBC=∠A．
∴cos∠DBC=cos∠A=
，
∴
，
故选：C．
课堂练习
1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=
，则AD的长为(
)
A.
2
B.
4
C.
D.
A
课堂练习
解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6．
在Rt△DBC中，∵∠C=90°，
∴tan∠DBC=
，
∴DC=
BC=4，
∴AD=AC-DC=6-4=2．
故选：A．
课堂练习
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8
cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD.若cos∠BDC=
，则BC的长是
(
)
A.
4
cm
B.
6
cm
C.
8
cm
D.
10
cm
A
课堂练习
解：∵∠C=90°，AC=8
cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8(cm)．
∵cos∠BDC=
，∴
，
解得CD=3
cm，∴BD=5
cm，
∴BC=4
cm．故选A．
课堂练习
3、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα-cosα的值为(
)
A.
B.
C.
D.
D
课堂练习
解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即AC2+(7+AC)2=132，
整理得，AC2+7AC-60=0，
解得AC=5，AC=-12(舍去)，
课堂练习
∴
，
∴
，
∴sinα-cosα=
，
故选D．
拓展提高
4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为______
拓展提高
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，∵BF=
=4，
∴CF=BC-BF=5-4=1，
拓展提高
设CE=x，则DE=EF=3-x
在Rt△ECF中，
∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=(3-x)2，解得x=
，
∴EF=3-x=
，∴sin∠EFC=
．
故答案为：
．
课堂总结
解直角三角形就是已知直角三角形的三条边，
三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）
求其他元素的过程．
解直角三角形常用的知识有：
勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
板书设计
课题：1.4
解直角三角形
?
教师板演区
?
学生展示区
一、解直角三角形
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P17练习第1、2
题
练习册基础
能力作业：
课本P18练习第
3、4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级上册1.4解直角三角形导学案
课题
1.4
解直角三角形
单元
第1
章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形；
重点
难点
直角三角形的解法.
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
在直角三角形中，两锐角的关系是？三边满足的数量关系是？
合
作
探
究
探究一：
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边.
在三角形中共有几个元素？
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.
在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c，
∠A、
∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？
边边关系：
角角关系
边角关系：
请问至少知道了几个元素，就可以求出其他的元素呢?
（1）已知两边
不妨设a、b已知，则由a2+b2=c2得到c.
由
得到∠A，
又由∠B=90°-∠A得到∠B.
（2）已知一边一角
不妨设a、∠A已知，先由∠B=90°-∠A得到∠B，
由
得到
，再由
得
若两个已知元素中没有边,则无法运用上面的关系求得三边的长.
探究二：
在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗?
例1
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=
，b=
，求这个三角形的其他元素.
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
探究三：
例2
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别
为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1
).
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素,这个三角形的所有元素就可以确定下来.
当
堂
检
测
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=
，则AD的长为(
)
A.
2
B.
4
C.
D.
2、
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8
cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD.若cos∠BDC=
，则BC的长是
(
)
A.
4
cm
B.
6
cm
C.
8
cm
D.
10
cm
3、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα-cosα的值为(
)
A.
B.
C.
D.
4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为______
课
堂
小
结
解直角三角形就是已知直角三角形三条边，
三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）
求其他元素的过程．
解直角三角形常用的知识有：
勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
参考答案
自主学习：
在直角三角形中，两锐角互余，三边满足勾股定理.
合作探究：
探究一：
三角形中共有六个元素：三边a、b、c，三角∠A、
∠B、
∠C.
边边a2+b2=c2
角角∠A+∠B=90°
边角
探究二：
例1
解:在Rt△ABC中，a2＋b2=c2,
a=，b=
，c=
.
在Rt△ABC中,sinB=
∴∠B=30°，∠A=60°
探究三：
例2
解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A
=65°.
,
,
当堂检测：
1解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6．
在Rt△DBC中，∵∠C=90°，
∴tan∠DBC=
，
∴DC=
,BC=4，
∴AD=AC-DC=6-4=2．
故选：A．
解：∵∠C=90°，AC=8
cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8(cm)．
∵cos∠BDC=，∴，
解得CD=3
cm，∴BD=5
cm，
∴BC=4
cm．
故选A．
3、∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即AC2+(7+AC)2=132，
整理得，AC2+7AC-60=0，
解得AC=5，AC=-12(舍去)，
∴
，
∴sinα-cosα=
，
故选D．
4、解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，
∵BF=
=4，
∴CF=BC-BF=5-4=1，
设CE=x，则DE=EF=3-x
.
在Rt△ECF中，
∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=(3-x)2，解得x=
，
∴EF=3-x=，
∴sin∠EFC=
．
故答案为：
．
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
