(共34张PPT)
1.5
三角函数的应用
数学北师大版
九年级下
复习导入
角角的关系:
边与角关系:
边边的关系：
两锐角互余
∠A+∠B=90?.
锐角三角函数
勾股定理
a?+b?=c?.
b
A
B
C
a
┌
c
复习导入
互余两角之间的三角函数关系:
同角之间的三角函数关系:
sinA=cosB
sin2A+cos2A=1.
如图
1-13，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.
新知讲解
图1-13
新知讲解
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流.
A
B
C
D
北
东
新知讲解
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,
只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,
如果AD>10海里,则无触礁的危险.
根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,
BC=20海里.
设AD=x,则
新知讲解
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
550
250
新知讲解
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
水平线
视线
视线
俯角
仰角
铅垂线
新知讲解
如图1-14，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50
m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1
m)
想一想
图1-14
新知讲解
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
答:该塔约有43m高.
新知讲解
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少?
(结果精确到0.01
m)
做一做
新知讲解
解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4
m.
答:调整后的楼梯会加长约0.48
m.
新知讲解
变式1
如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于(
)
A.
100sin35°米
B.
100sin55°米
C.
100tan35°米
D.
100tan55°米
C
新知讲解
解：∵PA⊥PB，PC=100米，
∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
新知讲解
变式2
如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于(
)
A.
m?sinα米
B.
m?tanα米
C.
m?cosα米
D.
m米
B
新知讲解
解：在直角△ABC中，
，
∴AB=m?tanα．
故选B．
新知讲解
变式3
如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm(如图2)，双翼的边缘AC=BD=60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(
)
cm
A.
B.
62
C.
64
D.
68
D
新知讲解
解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC=60cm，∠PCA=30°，
∴AE=
=30(cm)，
由对称性可知：BF=AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=60+8=68(cm)．
故选：D．
课堂练习
1、中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C(雕像的高度忽略不计)，
课堂练习
已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为(
)米
(参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45)
A.
262
B.
212
C.
244
D.
276
B
课堂练习
解：如图，延长AB交ED的延长线于G，作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F．
在Rt△CDH中，
∵CD=260米，CH：DH=1：2.4，
∴CH=100(米)，DH=240(米)，
在Rt△BCF中，∵CF=36米，BF：CF=1：2.4，
∴BF=15(米)，
课堂练习
∵四边形CFGH是矩形，
∴HG=CF=36(米)，FG=CH=100(米)，
∴DG=DH+HG=276(米)，
AG=AB+BF+FG=244(米)，
∵
，
∴
，
∴DE=212(米)，
故选：B．
课堂练习
2、某地A、B两市被大山阻隔，若要从A市到B市，只能沿着公路先从A市到C市，再由C市到B市．现计划开凿隧道使A，B两地直线贯通。
课堂练习
下表是九年级兴趣小组设计的实践活动报告的部分内容：
(结果精确到1km，参考数据：
≈1.4，
≈1.7)
通过计算隧道开通后缩短的路程是___________________
课堂练习
解：由题意可得：
解得：
(m)，
DC=
AC=10km，
∵β=45°，
∴DC=BD=10km，则BC=
≈14(km)，
则AC+BC=20+14=34(km)，
AB=17+10=27(km)，
故隧道开通后缩短的路程是：34-27=7(km)．
拓展提高
3、疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC//HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量∠ABD=11°，∠ADE=26°，∠ACE=31°，BC=20m，EG=0.6m．
拓展提高
(1)求线段AG的长度；(结果精确到0.1m)
(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)
拓展提高
解：(1)在Rt△ABE中，
，
在Rt△ACE中，
设AE=xm，则
解得x≈2.89m，
∴AG=AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m．
答：线段AG的长度约为3.5m．
（2）当线段AF⊥AC
时，
∵AE⊥BC，
∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°．
∴∠FAE＝∠ACE＝31°．
∴
tan∠FAG=tan31°=
，
∴
FG=AG·tan31°≈3.5×0.6=2.1m
．
答：点F与点G之间的距离约为2.1m．
拓展提高
课堂总结
解题思路导图
图形分析
生活问题数学化
（构造直角三角形）
设未知量
解答问题
（构建三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
数学问题
建立方程
实际问题
板书设计
课题：1.5
三角函数的应用
?
教师板演区
?
学生展示区
一、三角函数的应用
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P21练习第1，2题
练习册基础
能力作业：
课本P21练习第3，4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级上册1.5三角函数的应用导学案
课题
1.5
三角函数的应用
单元
第1
章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.牢记特殊角的三角函数值；
2.分清实际问题中的已知和未知，选择合适的三角函数解决实际问题；
3.会添加适当的辅助线将非直角三角形转化成直角三角形解决问题。
重点
难点
能够把实际问题转化为数学问题,
会用三角函数解决问题；
能根据题意画出示意图并正确运用三角函数解决问题.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
直角三角形的6个元素有哪些呢？
合
作
探
究
勾股定理
a?+b?=c?.
两锐角互余
∠A+∠B=90?.
锐角三角函数
sinA=cosB
sin2A+cos2A=1
探究一：
如图
1-13，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流.
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
探究二：
想一想
如图1-14，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50
m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1
m)
图1.14
探究三：做一做
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少?(结果精确到0.01
m)
当
堂
检
测
中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为
i=1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C(雕像的高度忽略不计)，已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为(
)米
(参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45)
A.
262
B.
212
C.
244
D.
276
某地A、B两市被大山阻隔，若要从A市到B市，只能沿着公路先从A市到C市，再由C市到B市．现计划开凿隧道使A，B两地直线贯通下表是九年级兴趣小组设计的实践活动报告的部分内容：(结果精确到1km，参考数据：≈1.4,≈1.7)
题目隧道开通后缩短的路程测量目标示意图相关数据，，
通过计算隧道开通后缩短的路程是___________
疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC//HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量∠ABD=11°，∠ADE=26°，∠ACE=31°，BC=20m，EG=0.6m．
(1)求线段AG的长度；(结果精确到0.1m)
(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)
课
堂
小
结
解题思路导图
参考答案
自主学习：
三个角，三条边
合作探究：
探究一：解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,
BC=
20海里.设AD=x,则
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险。
探究二：解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
答:该塔约有43m高.
探究三：
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4
m.
答:调整后的楼梯会加长约0.48
m.
当堂检测：
1、解：如图，延长AB交ED的延长线于G，作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F．
在Rt△CDH中，
∵CD=260米，CH：DH=1：2.4，
∴CH=100(米)，DH=240(米)，
在Rt△BCF中，
∵CF=36米，BF：CF=1：2.4，
∴BF=15(米)，
∵四边形CFGH是矩形，
∴HG=CF=36(米)，FG=CH=100(米)，
∴DG=DH+HG=276(米)，AG=AB+BF+FG=244(米)，
∵
∴DE=212(米)，
故选：B．
2、解：由题意可得：
解得：
(m)，
DC=1/2
AC=10km，
∵β=45°，
∴DC=BD=10km，则BC=≈14(km)，
则AC+BC=20+14=34(km)，
AB=17+10=27(km)，
故隧道开通后缩短的路程是：34-27=7(km)．
3、解：(1)在Rt△ABE中，
，
在Rt△ACE中，
设AE=xm，则，
解得x≈2.89m，
∴AG=AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m．
答：线段AG的长度约为3.5m．
（2）当线段AF⊥AC
时，
∵AE⊥BC，
∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°．
∴∠FAE＝∠ACE＝31°．
∴
tan∠FAG=tan31°=FG/AG
，
∴
FG=AG·tan31°≈3.5×0.6=2.1m
．
答：点F与点G之间的距离约为2.1m．
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精品试卷·第
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