2.3 确定二次函数的表达式 课件（共27张PPT）

新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容.
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y
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x
（1,3）
这个抛物线的解析式为
y=__x2
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新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容.
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
（2,3）
这个抛物线的解析式为
y=__（x-__）2
3
1
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容.
-1
-2
-3
9
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6
1
2
3
y
O
x
（1,2）
这个抛物线的解析式为
y=__（x-__）2+___
3
1
2
确定二次函数的表达式
1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.
2.体会用待定系数法确定二次函数表达式.
学习目标
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?
解: 如图所示，(4,3)是抛物线的顶点坐标,
∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= ,
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y= .
总结:
(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.
(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二次函数表达式的确定方法
例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
〔解析〕由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.
解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得
解这个方程组,得
所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.
【做一做】
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
思考下面的问题:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?
3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数?
解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得
解得
所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.
【做一做】
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
归纳确定二次函数表达式所需要的条件
【想一想】
在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?
总结:
1.二次函数y=ax2+bx+c可化成:y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),如果已知顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
设表达式为顶点式:y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数,再知道图象上的任意两个点的坐标,也可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
把两个点的坐标代入表达式,得到二元一次方程组,解这个方程组,得到两个未知系数的值,就可以确定所求二次函数的表达式
课程讲授
1
利用“一般式”求二次函数的解析式
问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？
y = a x2 + b x + c
含有____个待定系数,需要____个抛物线上的点的坐标就能求出来其解析式.
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3
课程讲授
1
利用“一般式”求二次函数的解析式
问题1：已经知道一条抛物线的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，请你根据所学知识求出这条抛物线的解析式.
解 过设所求二次函数为y=ax2+bx+c
由已知，函数图图象经经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，
得到关于a，b，c的三元一次方程组
解这个方程组，得
a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
a=2，b=-3，c=5.
∴ 二次函数为y=2x2-3x+5.
课程讲授
1
利用“一般式”求二次函数的解析式
利用“一般式”求二次函数的解析式的一般步骤：
1.设二次函数的表达式：__________________
2.代入已知点的坐标，得到关于二次函数系数的一次 方程（组）；
3.解方程（组）；
4.得到二次函数的解析式。
y=ax2+bx+c
课程讲授
1
利用“一般式”求二次函数的解析式
练一练：已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0）和（1，-2），则这个函数的解析式为（ ）
A.y=x2-x+2
B.y=x2-x-2
C.y=x2+x+2
D.y=x2+x-2
B
课程讲授
3
利用“交点式”求二次函数的解析式
例 如图，已知某一抛物线经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，求这条抛物线的解析式.
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2
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y
O
x
提示：根据抛物线与x轴交点（x1，0）（x2，0）的提示，在设表达式的时候可设为二次函数的交点式，即y=a(x-x1)(x-x2).
课程讲授
3
利用“交点式”求二次函数的解析式
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.
解 ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
因此，得
y=a(x+3)(x+1).
把点（0，-3）代入上式，得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得 a=-1，
所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)
课程讲授
3
利用“交点式”求二次函数的解析式
利用“交点式”求二次函数的解析式的一般步骤：
1.设二次函数的表达式：__________________
2.代入已知交点的坐标，得到关系式，再代入其他点的坐标，得到二次函数系数的一次方程；
3.解方程；
4.得到二次函数的解析式。
y=a(x-x1)(x-x2)
课程讲授
3
利用“交点式”求二次函数的解析式
练一练：如图，此抛物线的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
随堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-3，0），（0，3），（2，-5），则这个二次函数的解析式为_______________.
2.如图所示的抛物线的解析式为_______________.
y=-x2-2x+3
y=2x2-4x+2
随堂练习
3.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为（-1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，2），则该二次函数的解析式为_______________.
y=- x2+ x+2
3
2
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4
随堂练习
4.二次函数的图象经过(0,3)，（-2，-5），（1，4）三点，则它的解析式为 ( )
A.y=x2+6x+3
B.y=-3x2-2x+3
C.y=2x2+8x+3
D.y=-x2+2x+3
5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b，c的值分别是（ ）
A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4
C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4
D
D
随堂练习
6.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1;当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0，求这个二次函数的解析式.
∴这个函数的解析式为y=2x2-3x+1.
解 依题意得
解得
c=1,
a-b+c=6,
a+b+c=0,
a=2,
b=-3,
c=1.
随堂练习
7.已知二次函数当x=-1时，有最小值-4，且当x=0时，y=-3，求二次函数的解析式.
∴二次函数的解析式为y=（x+1）2-4.
解 设y=a（x+1）2-4，
将（0，-3）代入，得
a（0+1）2-4=-3，
解得 a=1，
1. 确定二次函数表达式所需要的条件是什么？
2.如何用待定系数法求二次函数表达式？
课堂小结
谢谢
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