人教版九年级数学下册圆的常用辅助线（PDF版，附答案）

初中几何辅助线—圆常用辅助线
题型1.圆中解决有关弦的问题时,常常需要作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)
这一辅助线,一是利用垂径定理得到平分弦的条件,二是构造直角三角形,利
用勾股定理解题
例1如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D二点
求证:AC=BD
证明:过O作OE⊥AB于E
O为圆心,OE⊥AB
AA=B
CE=D/
AC-
Bl
题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角
例2如图,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,
求
证明:(一)连结OC、OD
M、N分别是AO、BO的中点
.OM=1AO、ON=1Bo
OA=
OB
∠AMN=90°—∠OMN
∠CMM=90-∠ONM
∠AMN=∠CNM
题型4证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距
例4如图,已知⊙O1与⊙O2为等圆,P为O1、O2的中点,过P的直线分别交
⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证:AC=BD
证明:过O1作O1M⊥AB于M过O2作O2N⊥AB于N,则OM∥O2N
OM
OP
ON
O
O,P=OP
OM=ON
∴AC=BD
题型5有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:
(1)连结过弧中点的半径
(2)连结等弧所对的弦
(3)连结等弧所对的圆心角
∠AMN=90°-∠OMN
∠CNM=90-∠ONM
∠AMN=∠CNM
题型4证明弦相等或已知弦相等时常作弦心
例4如图,已知⊙O1与⊙O2为等圆,P为O1、O2的中点,过P的直线分别交
⊙O1、⊙O2于A、C、D、B求证:AC=BD
证明:过O1作OM⊥AB于M过O2作O2N⊥AB于N,则O1M∥O2N
O
M
OM
OF
OP=OF
O?
∴O1M=O2N
AC=
BD
题型5有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法
(1)连结过弧中点的半径
(2)连结等弧所对的弦
3)连结等弧所对的圆心角
例5如图,已知D、E分别为半径OA、OB的中点,C为弧AB的中点,求证
证明:连结OC
∵C为弧AB的中点
∴∠AOC=∠BOC
D、E分别为OA、OB的中点,且AO=BO
∴OD=OE=-AO=-BO
文∵∴OC=OC
△ODC≌△OEC
CD=CE
结论1圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半
结论2圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半
结论3有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题
例6如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC=PC
PB的延长线交⊙O于D,求证:AC=DC
证明:连结AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠DP=90°
AC=PO
∴AC=CD=-AP