北师大 版九年级数学上学期同步练习 1.2 矩形的性质与判定（word版含答案）

1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（　　）
A．15°
B．15.5°
C．20°
D．37.5°
2．在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（　　）
A．18°
B．19°
C．20°
D．40°
4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为（　　）
A．60°
B．75°
C．72°
D．90°
5．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）
A．1
B．
C．
D．
6．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）
A．（4，2）
B．（2，4）
C．（，3）
D．（3，）
7．矩形COED在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点D的坐标是（1，3），则CE的长是（
A．3
B．2
C．
D．4
8．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（　　）
A．85°
B．80°
C．75°
D．70°
9．如图，矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上一点，∠DFC＝2∠FCE，CE＝8，CF＝10，则线段AF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（　　）
A．108°
B．114°
C．126°
D．129°
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是　
　．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为　
　．
13．已知如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点C，点D的坐标分别为（0，4），（5，0），，点P在BC边上运动（不与B，C重合），当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为：　
　．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，若BD＝4，则AD＝　
　．
三．解答题
15．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝　
　，EF＝　
　
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．
18．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若AB＝4，AD＝7，求△EFD的周长．
19．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．
参考答案
一．选择题
1．
A．
2．B．
3．
B．
4．
B．
5．
C．
6．
D．
7．
C．
8．
C．
9．
A．
10．
C．
二．填空题
11．
．
12．
2．
13．（2，4）或（3，4）或（8，4）．
14．
2．
三．解答题
15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝0B＝OC＝OD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，
即：OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO＝∠DGC＝90°，
又∵DG＝DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD＝OD，
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4，
∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．
16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BC∥DA，
∵点E是线段AB的中点，
∴CE＝AB＝BE＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°＝∠ABD，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；
（2）证明：如图所示：
∵BD∥CF，BE＝AE，
∴AF＝DF＝AD，
∴BC＝AF，
又∵BC∥DA，
∴四边形BCAF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形BCAF是矩形．
18．（1）证明：矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵EF⊥ED，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，又EF＝ED，
∴△BFE≌△CED，
∴BE＝CD；
（2）解：矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，
∵△BFE≌△CED，
∴BE＝CD＝4，
∴EC＝3，
∴ED＝5，
∴EF＝ED＝5，
∴FD＝，
∴△EFD的周长＝．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴AF＝CE；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵CE＝4，
∴AF＝4，
∵AC平分∠FAE，
∴∠FAC＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠DCA，
∴FC＝AF＝4，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝2，
∴CD＝6．