北师大 版九年级数学上学期同步练习 1.1 菱形的性质与判定（word版含答案）

1.1
菱形的性质与判定
一．选择题
1．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
2．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为（　　）
A．12
B．16
C．24
D．48
3．已知?ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（　　）
A．AB＝AC
B．AB＝CD
C．对角线互相垂直
D．∠A+∠C＝180°
4．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．都有可能
5．用两个边长为5cm的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
6．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　）
A．平行四边形
B．对角线相等的四边形
C．矩形
D．对角线互相垂直的四边
7．下列说法：
（1）如图1，已知PA＝PB，则PO是线段AB的垂直平分线；
（2）对于反比例函数，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上两点，若x1＜x2，则y1＞y2；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
（4）如图2，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AC＝4；
（5）一组对边平行的四边形是梯形；
（6）是反比例函数；
（7）若一个等腰三角形的两边长为2和3，那么它的周长为7，
其中正确的有（　　）个．
A．0
B．1
C．2
D．5
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
9．菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（　　）
A．60cm
B．50cm
C．40cm
D．80cm
二．填空题
10．四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，ABCD的边满足条件：　
　时（填上一个你认为正确的条件），四边形EFGH是菱形．
11．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　
　（只填一个你认为正确的即可）．
三．解答题
12．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点，EO的延长线交边DC于点G
（1）求证：∠AED＝∠FBC；
（2）求证：四边形DEBG是平行四边形．
13．如图，在?ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF为菱形．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
16．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．
求证：四边形ABCD是菱形．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
18．将两块全等的直角三角形如图1摆放在一起，设较短直角边为1．现将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置（如图2）．
（1）求证：四边形ABC1D1是平行四边形；
（2）当四边形ABC1D1为矩形时，求矩形ABC1D1的面积；
（3）当点B的移动距离为多少时，四边形ABC1D1为菱形．
19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
20．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
参考答案
一．选择题
1．
B．
2．
C．
3．
C．
4．
C．
5．
C．
6．
B．
7．
B．
8．
D．
9．
B．
二．填空题
10．
AC＝BD．
11．
AC⊥BD或AB＝BC，或BC＝CD，或CD＝DA，或AB＝AD（答案不唯一）
三．解答题
12．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF＝∠BCF，DC＝BC．
在△DCF和△BCF中，
，
∴△DCF≌△BCF，
∴∠FBC＝∠FDC．
∵DC∥AB，
∴∠FDC＝∠AED．
∴∠AED＝∠FBC．
（2）如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴OD＝OB．
∵DC∥AB，
∴∠GCO＝∠EAO．
在△GCO和△EAO中，
，
∴△GCO≌△EAO，
∴OE＝OG．
∴四边形DEBG是平行四边形．
13．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE＝∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DFE中，，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF．
∵AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF．
∵AB∥DF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB．
∴DB＝DF．
∴四边形ABDF是菱形．
14．证明：∵M、E、分别为AD、BD的中点，
∴ME∥AB，ME＝AB，
同理：FH∥AB，FH＝AB，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M、F分别是AD，AC中点，
∴MF＝DC，
∵AB＝CD，
∴MF＝ME，
∴四边形MENF为菱形．
15．解：（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠EDB＝90°，BD＝DC，
又∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE＝AE＝BE，
∴∠AEF＝∠AFE，且∠BED＝∠AEF，
∠DEC＝∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF＝CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE即可，
∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∠DEC＝∠ECA，
又∵∠BED＝∠DEC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，又EB＝EC，
∴AE＝EC＝EB，
∵CE＝AB，
∴AC＝AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴当∠B＝30°时，AB＝2AC，
故∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．
16．证明：连接AC，如图1．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE＝AF，
∴∠2＝∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠1．
∴∠DAC＝∠2，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形．
17．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）∵∠FAC＝2∠ACB，∠FAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
18．（1）证明：根据平移的性质得到：△ABD≌△CDB≌△C1D1B1，
∴AB＝C1D1．
又∵∠ABD＝∠C1D1B＝30°，
∴AB∥C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形；
（2）解：∵在移动过程中，四边形ABC1D1恒为平行四边形，
∴只要∠BC1D1＝90°，四边形ABC1D1即为矩形，
此时在Rt△BB1C1中，B1C1＝1，∠BB1C1＝90°，∠B1BC1＝60°，
∴BC1＝2BB1，由勾股定理得，BC1＝，
由已知得：AB＝2，
∴S矩形ABC1D1＝×2＝；
（3）解：当四边形ABC1D是菱形时，∠ABD1＝∠C1BD1＝30°，
∵B1C1＝1，
∴BB1＝＝＝，
当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形．
19．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC?DF＝×4×5＝10．
20．（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝6，
则此时的时间t＝6÷1＝6（s）．
故答案为：6s．