2020-2021学年山东省临沂四中高二年级12月月考word版含答案

临沂四中高二年级12月月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（　　）
A．1或3
B．4
C．1
D．1或4
2.
向量，若，且，则的值为（
）
A.
B.
1
C.
D.
4
3．在等差数列中，为前项和，，则
A．
B．
C．
D．
4.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（
）
B.
C.
D.
5．在公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（
）
A．n
B．
C．
D．
6.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
7.点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
8．已知、是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且，和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有(
)。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（
）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（　　）
A．q＝1
B．数列{Sn+2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lgan}是公差为2的等差数列
11.
如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（
）
A.
三棱锥的体积为定值
B.
异面直线与所成的角为
C.
平面
D.
直线与平面所成的角为
12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣。像笛卡尔卵形线一样，
笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线。卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数。已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是：
曲线C过坐标原点
曲线C关于坐标原点对称
曲线C关于坐标轴对称
D.若点在曲线C上，则
的面积不大于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.在等差数列，则数列前9项的和
_______.
14．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为_______.
15．设数列的前项和．
则的通项公式为_______.
16.
已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点，则圆C的方程___________，存在正实数___________，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.
三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线：ax+2y+1=0，直线：x﹣y+a=0．
（1）若直线⊥，求a的值及垂足P的坐标；
（2）若直线∥，求a的值及直线与的距离
18.已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．
（1）求的方程；并求其焦点坐标；
（2）过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，求弦的长．
19．已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20.临沂市某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后地旅游业收入每年会比上年增加。
（1）设年内（本年度为第1年）的总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出与的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业总收入才能超过总投入？
21.
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
22．（12分）
已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点．
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，．证明：存在定点，使得为定值．
临沂四中高二年级12月月考试
数学试题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．C
2.
C
3．A
4.A
5．B
6.D
7.C
8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．BC
10．BC
11.AD
12.BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.
99
14．4
15．
16.
(1).
或
(2).
三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解答】解：（1）∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0，
当直线l1⊥l2时，a×1+2×（﹣1）=0，
解得a=2，
∴l1：2x+2y+1=0，直线l2：x﹣y+2=0，
联立解得
∴a的值为2，垂足P的坐标为（，）；
（2）当直线l1∥l2时，，
解得a=﹣2，
∴l1：﹣2x+2y+1=0，直线l2：﹣2x+2y+4=0，
由平行线间的距离公式可得d==
∴a的值为﹣2，直线l1与l2的距离为
18.解：（1）抛物线的标准方程为，
由抛物线的定义可知：，解得，
因此，抛物线的方程为；焦点坐标为
（2）直线方程为
由得
设，，则，
19．
(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
20.
【详解】（1）第一年投入为800万元，第二年投入为800（1-）万元，……第年旅游业收入为万元，年内总投入
第一年旅游业收入为400万元，第二年投入为400（1+）万元，……第年旅游业收入为万元，年内旅游业总收入
（2）旅游业的总收入超过总投入，即->0
即化简得
，代入上式并整理得借此不等式，得
.又
故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。
21.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连，
，
∵，，
∴
∵在直角梯形中，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵平面，平面，，
∴平面，
（2）∵平面，，
∴，
，两两垂直，以为原点，
，，向量方向分别为轴，轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系.
各点坐标如下：，，，，
设平面的法向量为
由，，
有,取，则，，
即
设平面的法向量为
由，，有，
取
，则，，即
所以
故二面角的正弦值为.
22．（12分）
解:（1）由题意知：，
1分
由椭圆定义知，所以
2分
设椭圆的半焦距为，所以
，所以
所以椭圆的标准方程为：
3分
（2）（ⅰ）设直线的方程为：
将带入得：
所以
4分
又因为，得
5分
点到直线的距离
6分
所以
7分
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为
8分
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，
由（ⅰ）知：
所以
10分
所以
11分
解得，，直线过定点或
所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于
所以存在定点或，使得为定值
12分