人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数 全章教案

第28章
锐角三角函数
第一课时　锐角的正弦
1．通过探究当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值，从而得出正弦概念，培养学生由特殊到一般的归纳推理能力．
2．理解正弦概念并能根据正弦概念正确进行计算．
正确认识、理解正弦概念，会根据边长求出正弦值．
引导学生比较、分析得出：在直角三角形中，对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值．
一、情景导入
“神舟十号”载人飞船与“天宫”一号成功实现手控交会对接，对接成功后将增进人类对太空的了解，解开天宫的神秘面纱．其实，在“神舟十号”发射和对接的过程中，三角函数的测量伴随着航天活动的始终，今天我们就来揭开锐角三角函数的面纱吧！
二、自学互研
阅读教材P61－62内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？__100__m__；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ __2a__m__
结论：在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值为____．
问题2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠A的对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
结论：在直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值为____．
问题3：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否也是一个固定值？
结论：在△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝＝.
师生活动：
①明了学情：关注学生对概念的理解与掌握情况．
②差异指导：在学生探究概念时遇到的困惑及时给予点拨．
③生生互助：学生先自主探究，然后小组合作，形成共识．
三、典例剖析
例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，
AB＝＝＝5.
因此sinA＝＝，sin B＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，AC＝＝＝12.
因此sinA＝＝，sinB＝＝.
例2：(贺州中考)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝____．
例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，且BD＝3，DC＝4，求sinA的值．
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠B＝90°，∠1＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠A，
在Rt△CDB中，BC＝＝5，
∴sinA＝sin∠1＝.
四、课堂小结
请同学们根据以下问题回顾本节课的内容：
(1)什么叫做锐角的正弦？
(2)定义锐角正弦的过程、方式是什么？与以前下定义的方式有什么不同？
五、检测反馈
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为( D )
A.　　 　B.　　 　C.　 　　D.
2．把△ABC的三边都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( A )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，sinB＝，则b＝____．
4．(临沂中考)如图，在?ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝，则?ABCD的面积是__3__．
六、课后作业
第二课时　锐角的余弦和正切
1．掌握余弦、正切的概念；能较正确地用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边长的比．
2．能够综合运用sinA，cosA，tanA解决简单的实际问题．
理解余弦、正切的概念．
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
一、情景导入
如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得＝＝＝k.可见，在Rt△ABC中，当锐角A确定以后，无论直角三角形大或小，其邻边与斜边的比是唯一确定的．
思考：当锐角A确定以后，无论直角三角形大或小，其对边与邻边的比是唯一确定的吗？
二、自学互研
阅读教材P64－65内容，思考并完成下列问题：
问题1：一般地，在直角三角形中，当∠A确定时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
如下图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝α，那么与有什么关系？
分析：由于∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，所以＝，即＝.
问题2：同样地，大家能不能得出锐角B的度数一定时，∠B的对边与邻边的比也是一个固定值呢？
结论：(1)在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比都是一个固定值．
(2)在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的对边与邻边的比都是一个固定值．
1．余弦、正切
如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝.把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.
2．锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
师生活动：
①明了学情：关注学生对余弦、正切概念的理解与掌握．
②差异指导：对探究中有困难的学生及时给予引导、点拨．
③生生互助：学生小组合作、交流、讨论，相互解疑释惑．
三、典例剖析
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
分析：由三角函数定义可知，求cosA、tanA的值必须知道AC边的值，根据勾股定理可求出AC.
解：由勾股定理得AC＝＝＝8，因此sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.
例2：如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)．
(1)写出点A的坐标；
(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1；
(3)求出sin∠A1OB1的值．
分析：从图中读出点A的坐标即可；让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；利用定义解得正弦值，即为对边与斜边的比．
师生活动：
学生小组合作，交流讨论，形成共识，由代表进行展示．
四、课堂小结
请同学们根据以下问题回顾本节课的内容：
(1)什么叫做锐角三角函数？分析锐角三角函数的增减性．
(2)学习本节课后，还存在哪些疑惑？
五、检测反馈
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中不一定成立的是( D )
A．b＝a·tanB　　　　B．a＝c·cosB
C．c＝ D．a＝b·cosA
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余弦值等于( A )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3．如果在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3，4)，射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于____．
4．△ABC的位置如图所示，那么tan∠ABC的值为____．
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.
(1)试写出α的三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
解：(1)∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝＝，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝；
(2)∵∠B＝α，∴tanB＝tanα＝，∵tanB＝，∴BC＝＝＝4.∵CD＝1，∴BD＝BC－CD＝3.
六、课后作业
第三课时　特殊角的三角函数值
1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小．
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
理解30°，45°，60°角的三角函数值的探索过程．
一、情景导入
如图，身高1.5 m的小丽用一个两锐角分别是30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．已知她与树之间的距离为5 m，那么这棵树大约有多高？
二、自学互研
阅读教材P65－66内容，思考并解答下列问题：
(1)观察：一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
(2)如图①，思考：①回忆：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__；
②sin30°＝____，cos30°＝____，tan30°＝____，你是怎样得到的？
(3)如图②，类似地，你来根据等腰直角三角形的性质填空：
sin45°＝____，cos45°＝____，tan45°＝__1__．
(4)你能得到60°角的锐角三角函数值吗？
归纳：将上述所有结论整理，制成下表：
锐角A
锐角三角函数　　　　
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
　　师生活动：
①明了学情：关注学生对特殊角度三角函数值能否正确推导．
②差异指导：适时对推导有困难的学生给予点拨、引导．
③生生互助：学生先独立思考，对于疑惑的地方小组合作交流讨论，达成共识．
三、典例剖析
例1：求下列各式的值：
(1)cos260°＋sin260°；(2)－tan45°.
解：(1)原式＝＋＝1；(2)原式＝÷－1＝0.
例2：(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，求∠A的度数．
(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.
解：(1)∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°；
(2)∵tanα＝＝＝，∴α＝60°.
总结：由角的度数能求三角函数值，进行有关运算，由三角函数值也能求角的度数．
例3：如图所示，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2 m，共需地毯的面积为(4＋4)m2，则α为多少度？
解：由题意可得，BC＋AC＝＝2＋2，∴AC＝2＋2－2＝2.在Rt△ABC中，∵tanα＝＝＝，∴∠α＝30°.
答：α为30°.
师生活动：
①明了学情：关注学生对特殊三角函数值的掌握及运用情况．
②差异指导：对运用有困难的学生及时引导．
③生生互助：学生小组交流、讨论，相互解疑释惑．
四、课堂小结
本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
1．特殊角的三角函数值．
2．怎样由角求值？由值求角？结合概念综合运用．
五、检测反馈
1．cos60°的值等于( A )
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2．若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A )
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝__75°__．
4．若4cos2α－(2＋2)cosα＋＝0，则锐角α＝__30°或60°__．
5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
解：AB＝3＋.
六、课后作业
第四课时　用计算器求三角函数值和锐角度数
1．让学生熟知计算器一些功能键的使用；
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由锐角三角函数值来求角度．
3．体会角度与比值之间的对应关系，深化对锐角三角函数概念的理解．
运用计算器求锐角三角函数值或角度问题．
用计算器求锐角三角函数值时注意按键顺序．
一、情景导入
如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B，并测得其俯角∠α＝8°14′.已知观察所A的标高(当水位为0时的高度)为43.74 m，当水位为＋2.63 m时，求观察所A到船只B的水平距离BC.
二、自学互研
阅读教材P67－68内容，思考并完成下列问题：
问题1：锐角是整数度的怎么按键？
如果锐角α的度数是整数，如sin25°，cos32°，tan18°，只需按、、键，再按数字键即可，如求sin25°，先按计算器键，再按键，就可得到结果sin25°＝0.422618261.
问题2：锐角是度、分形式怎么办？
如果锐角α的度数是度、分、秒的形式，如∠α＝42°30′18″，要求它的三角函数值时，也可以用两种方法：
(1)先按、、键，再按度单位上的数字，接着按一次，再按分单位上的数字，再按一次，再按秒单位上的数字，再按一次，即可得到结果．
(2)先把以分、秒为单位的数化成以度为单位的数，也就可以按照1的方法计算．如42°30′18″＝42.505°，所以先按计算器的、、键，再输入角度值42.505°，就可以得到结果．
问题3：已知锐角α的某一锐角三角函数值，要求α的度数，怎样做？
例如：已知sinα＝0.5018，用计算器求锐角α可以按照以下方法操作：
依次按键，然后输入函数值0.5018，得到∠α＝30.11915867°，精确到1°的结果为30°.
还可以利用键，进一步得到∠α＝30°07′08.97″，精确到1′的结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″.
师生活动：
①明了学情：关注学生对利用计算器求三角函数值或已知三角函数值求锐角的度数的方法的掌握情况．
②差异指导：及时对学生存在的疑惑进行引导、点拨．
③生生互助：学生小组合作探究，相互解难释疑．
三、典例剖析
例1：用计算器求下列三角函数的值：
(1)sin46°25′40″；(2)cos56°40′；(3)tan46°35′20″.
解：(1)0.7245；(2)0.5495；(3)1.0571.
例2：已知下列锐角三角函数值求出其对应的角的度数．
(1)sinA＝0.2046；(2)cosA＝0.7958；(3)tanA＝3.280.
解：(1)∠A≈11.81°或11°48′22″；(2)∠A≈37.27°或37°16′9″；(3)∠A≈73.04°或73°2′41″.
注意：因大多数结果都是近似值，所以在具体的解题过程中严格按题目要求完成并取近似值．
例3：升国旗时，某同学站在离国旗20 m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42°，若双眼离地面1.6 m，试求出旗杆AB的高度．(精确到0.01 m)
解：过D作DC⊥AB于C，DC＝EB＝20(m)．∵tan∠ADC＝，∴AC＝DC·tan∠ADC＝20×tan42°≈18(m)，∴AB＝AC＋CB＝18＋1.6＝19.6(m)．即旗杆AB的高度为19.6 m.
四、课堂小结
本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
1．用计算器求任意锐角的三角函数值的方法．
2．已知锐角的三角函数值用计算器求锐角．
3．用计算器求值探求各锐角三角函数之间的关系．
五、检测反馈
1．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( B )
A．0.90　　　B．0.72　　　C．0.69　　　D．0.66
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，则∠A的度数(精确到1°)为( B )
A．30° B．37° C．38° D．39°
3．用计算器计算：
(1)tan23°30′40″≈__0.4350__；
(2)若cosα＝0.2042，则α≈__78.22°__；若tanβ＝3.54，则β≈__74.23°__．
4．(陕西中考)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数约为__27.8°__.(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
5．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求：∠ABC的度数．(以度、分、秒的形式表示)
解：在Rt△ABC中，AC＝6.3 cm，BC＝9.8 cm，∴tan∠ABC＝＝≈0.6429，∴∠ABC≈32°44′13″.
六、课后作业
第五课时　解直角三角形
1．使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，及什么是解直角三角形．
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
3．渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯．
直角三角形的解法．
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
一、情景导入
清明节时，某中学的近千名师生来到龙山烈士陵园祭奠抗战烈士．如图，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，该山坡的高BC为多少米？
二、自学互研
阅读教材P72－73内容，解答下列问题：
探究：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)若∠A＝35°，AB＝10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(2)若AB＝10，BC＝5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(3)若∠A＝35°，∠B＝55°，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(4)在直角三角形中，知道几个元素就可以求出其他元素？
(只探讨方法，不解出结果)
归纳：(1)在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素．
(2)定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有什么关系？
答：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝.
追问：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？
教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素．即：①已知两条边；②已知一条边和一个锐角．
师生活动：
①明了学情：关注学生对直角三角形三边关系、两锐角关系、边角关系的掌握情况．
②差异指导：对学生在探究中存在的疑惑适时给予指导与点拨．
③生生互助：小组内交流、讨论，相互解疑释惑．
三、典例剖析
例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
分析：由学生尝试分析，注意方法的多样性，选择较简便的方法．
解：∵tanA＝＝＝，∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝30°.∴AB＝2AC＝2.
例2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
分析：引导学生思考分析．
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.
∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
师生活动：
学生在教师的引导下，思考如何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径．
学生板演完成，重视过程的完整性与规范性．
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)什么叫解直角三角形？
(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？
五、检测反馈
1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a＝( C )
A.　　　B．6　　　C.　　　D.
2．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是____．
3．在△ABC中，若∠C＝90°，sinA＝，AB＝2，则△ABC的周长为__3＋__．
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．
解：略．
六、课后作业
第六课时　与视角有关的解直角三角形的应用
1．理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．
2．通过解直角三角形，获得解决物体的高和宽等一些测量经验．
3．运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学、用数学的思想．
利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．
把实际问题转化为数学模型．
一、情景导入
肖颖的教室在教学楼的二楼，一天，她站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？她望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？
二、自学互研
阅读教材P74－75内容，思考并完成下列问题：
(1)从组合体中最远能直接看到的地球上的点，应该是视线与地球__相切时的切点__．
(2)所要求的矩离应该是点P与切点之间的__弧长__．
(3)已知有哪些条件？求弧长需要知道哪些条件？
(4)画出平面图形，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，弧PQ的长就是地面上P，Q两点间的距离．为了计算弧PQ的长，就需要先求出∠POQ的度数．这只需解直角三角形FOQ即可．
归纳：根据题意将实际问题转化为数学问题，该题综合运用了圆和解直角三角形的知识．画出解题所需的几何图形，把已知和所求有机结合进行分析，是解决此类问题的关键．
(1)什么是仰角、俯角？
答：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是仰角；视线在水平线下方的角是俯角．
(2)如何根据题意构造几何图形？
(3)怎样求出BC的长？
__答：在两个直角三角形中分别求出BD、CD，也可以先求出AB、AC的长，再运用勾股定理求出BC.__
师生活动：
①明了学情：引导学生分析，关注学生将实际问题转化为数学问题的掌握情况．
②差异指导：及时对有困难的学生给予指导与点拨．
③生生互助：小组内交流、讨论，相互解难释疑．
三、典例剖析
例1：如图所示，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高DE.(结果精确到0.1米，≈1.732)
解：∵在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，∴∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，即∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE.设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝＝＝x，DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x.又∵在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2米，∴△ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2，∴x＝3x－73.2，即1.732x≈3x－73.2.解得x≈57.73，∴DE＝2x≈115.5(米)．
答：塔高DE约为115.5米．
归纳总结：双直角三角形的常见类型：
1．利用公共边是求解双直角三角形的关键 .
2．注意线段的和差关系：如图①，BC＝BD－CD；如图②，BC＝BD＋CD.
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)什么是仰角和俯角？
(2)在解答实际问题的过程中，你学会了哪些解题技巧或方法？还有哪些疑惑？
五、检测反馈
1．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°，点A到旗杆底部的距离AB＝12米，则旗杆的高度为( C )
A．6米　　　　　　　B．6米
C．12米 D．12米
2．如图，AB，CD两教学楼相距30米，某学生在教室窗台口B处测得CD楼楼顶C处的仰角为30°，楼底D处的俯角为45°，则教学楼CD的高度为( A )
A．(10＋30)米　　　　　B．(30－)米
C．45米 D．5米
3．某飞机的飞行高度为1500米，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与地面控制点的距离为__1000__米．
4．如图所示，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为______m.
六、课后作业
第七课时　与方位角坡角有关的解直角三角形的应用
1．了解方位角的命名特点，学会解决方位角的相关问题．
2．理解坡度、坡角等概念，能用锐角三角函数知识解决坡度的相关问题．
3．经历把实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会锐角三角函数在解决实际问题的过程中的作用．
利用方位角坡角的相关知识，借助锐角三角函数解决航海等实际问题．
把实际问题转化为数学问题；直角三角形解法的灵活应用．
一、情景导入
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?
二、自学互研
阅读教材P76内容，思考并完成下列问题：
问题1：如何将导入中的问题转化为数学问题？
学生自主探究，展示板书解题过程：
PC＝PA·cos25°＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，PB＝≈≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
归纳：方位角：首先确定好基准点，然后在基准点做好坐标，规定以南北方向为始边，左右旋转即可得到方位角．
通过分析图形，教师引导学生板书解题过程。
问题2：如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度较大？你是根据什么来进行判断说明的呢？
结论：如图，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
问题3：利用解直角三角形的知识解决实际问题一般过程是什么？
归纳：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
师生活动：
①明了学情：关注学生对方位角、坡角的理解，了解学生将实际问题转化为数学问题的一般过程的掌握情况．
②差异指导：对有困难的学生适时点拨．
③生生互助：对自主探究中存在的疑惑，小组内交流、讨论，形成共识．
三、典例剖析
例1：(教材例5变式题)如图所示，C岛位于我南海A港口北偏东60°方向，距A港口60海里处．我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，我海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？
解：过点C作CD⊥AB于点D.由题意，得∠CAD＝30°，∠DCB＝45°，∴CD＝AC·sin∠CAD＝60×＝30(海里)，∴BC＝＝60(海里)，∴t＝60÷60＝1(小时)．
答：从B处到达C岛需要1小时．
例2：一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
解：连接AE，在Rt△ABE中，∵AB＝3 m，BE＝ m，∴AE＝＝2 m.
又∵tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°.∵sin∠EAF＝，
∴EF＝AE·sin∠EAF＝2×sin60°＝2×＝3(m)．
答：木箱端点E距地面AC的高度EF是3 m.
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)解答方位角问题要注意哪些？
(2)什么是坡度、坡角？它们之间存在什么关系？
五、检测反馈
1．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( B )
A．15 m　　　　　　　　　B．20 m
C．10 m D．20 m
,(第1题图))　　　,(第3题图))
2．小强沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了( A )
A．1米 B.米
C．2米 D.米
3．如图，机器人从点A出发，沿着西南方向行了4米到达点B，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°方向上，则OA＝____米．
六、课后作业
第二十八章总结与提升
1．进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算．
2．熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数．
3．能用解直角三角形知识解决实际应用问题．
能熟练运用所学知识解决具体问题．
运用锐角三角函数解决实际应用问题．
一、情景导入
本章知识结构图：
二、自学互研
回顾本章所学内容，解答下列问题：
问题1：请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化的情况，你有什么发现？
答：对于锐角A，它的正弦函数(sinA)的函数值随自变量锐角A的增大而增大，且sinA必须满足0＜sinA＜1；它的余弦函数(cosA)的函数值随锐角A的增大而减小，且cosA必须满足0＜cosA＜1；它的正切函数(tanA)的函数值随锐角A的增大而增大，且tanA满足tanA＞0.
问题2：试一试：若锐角A的余弦值cosA＝，则锐角A的取值范围是( C )
A．60°＜A＜90°　　　　B．45°＜A＜60°
C．30°＜A＜45° D．0°＜A＜30°
问题3：利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A＋cos2A＝1吗？你有何发现？
答：能，对于任意锐角A，总有sin2A＋cos2A＝1.
问题4：若∠A＋∠B＝90°，你能探索出tanA与tanB之间有什么关系吗？
答：若∠A＋∠B＝90°，则必有tanA·tanB＝1.
师生活动：
①明了学情：关注学生对本章知识的综合运用情况．
②差异指导：对有困难的学生进行引导与点拨．
③生生互助：对有疑惑的地方小组内交流、讨论，形成共识．
三、典例剖析
例1：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
请按要求完成下列各题：
(1)用签字笔画AD∥BC(D为格点)，连接CD；
答：如图．
(2)线段CD的长为____；
(3)请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是__∠CAD(或∠ADC)__，则它所对应的正弦函数值是__(或)__；
(4)若E为BC中点，则tan∠CAE的值是____．
例2：如图所示，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF(结果保留根号)；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．(结果取整数，≈1.732)
解：(1)如图，分别过点E，D作EM⊥BF于点M，DN⊥BF于点N，则MN＝DE＝2米，EM＝DN＝10米．
在Rt△AND中，AN＝＝10米．
∵i＝＝，
∴FM＝EM＝10米，
∴AF＝FM＋MN－AN＝(10－8)米．
答：加固后坝底增加的宽度AF为(10－8)米．
(2)∵S梯形ADEF＝＝(50－30)平方米，(50－30)×600≈33960(立方米)．
答：完成这项工程需要土石约33960立方米．
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)如何利用锐角三角函数的增减性确定角度的大小范围？
(2)本节课的学习中你又有了哪些收获？
(3)对于本章知识你还存在哪些疑惑？
五、检测反馈
1．(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是( D )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
,(第1题图))　　　,(第2题图))
2．(衢州中考)如图所示，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m，≈1.73)( D )
A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m
3．(黔西南州中考)如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝____．
4．(宁波中考)为解决停车难的问题，在如图所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位(≈1.4)．
六、课后作业