3.1函数与方程
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(共66张PPT)
3.1.1
方程的根与函数的零点
（1）
讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，
方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；
方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；
方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；
再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.
方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
x
y
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1
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1
2
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图3.1-1(1)
可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3；
函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点
(-1,0),(3,0).
这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.
方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
x
y
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1
2
1
2
图3.1-1(2)
可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根
x1=x2=1；
函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).
这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数
y=x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标.
方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
图3.1-1(3)
x
y
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1
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2
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方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.
上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)也成立.
设判别式△=b2-4ac，我们有：
（1）当△>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；
（2）当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.
换言之：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不同根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个重根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴没有交点；
总之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标.
一、函数的零点
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）.
显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
课堂例题
例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5
图例1(1)
x
y
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由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.
解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3
图例1(2)
x
y
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由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=-3没有实数根.
课堂练习
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
课后作业
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
3.1.1
方程的根与函数的零点
（2）
复习导入
问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？
答：方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？
参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程
求解》
探究
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？
x
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图3.1-2
新课
经过讨论，可以发现：f(-2)·f(1)<0，
函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1，
它是方程x2-2x-3=0的一个根.
同样地，f(2)·f(4)<0，
函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，
它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
课堂练习
画出二次函数f(x)=-x2-x+2的图象，观察函数f(x)=-x2-x+2在区间[-5,0]上是否有零点.计算f(-5)与f(0)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[0,4]上是否也具有这种特点呢？
图3.1-3
x
y
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经过讨论，可以发现：f(-5)·f(0)<0，
函数f(x)=-x2-x+2在区间(-5,0)内有零点x=-2，
它是方程-x2-x+2=0的一个根.
同样地，f(0)·f(4)<0，
函数f(x)=-x2-x+2在区间(0,4)内有零点x=1，
它是方程-x2-x+2=0的另一个根.
一般地，我们有：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
课堂例题
例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.
解：作出x、f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.33863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
再作出y=f(x)的图象：
图3.1-4
由以上表格和图象可知，f(2)<0，f(3)>0，即
f(2)·f(3)<0,
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，
所以，它仅有一个零点.
课堂练习
1. 利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点
所在的大致区间：
（1）f(x)=-x3-3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x-2)-3；
（3）f(x)=ex-1+4x-4; （4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.
图3.1-5（1）
解：由图象可知， f(1)>0， f(2)<0，即
f(1)·f(2)<0,
说明这个函数在区间(1,2)内有零点.
由于f(x)在定义域R内是减函数，
所以，它仅有一个零点.
图3.1-5（2）
由以上表格和图象可知，f(3)<0，f(4)>0，即
f(3)·f(4)<0.
说明这个函数在区间(3,4)内有零点.
由于f(x)在定义域(2,+∞)内是增函数，
所以，它仅有一个零点.
2．已知函数f(x)=x3-3x+1，问该函数在区间(-2,-1)内是否有零点？
解：因为f(-2)=-1<0，f(-1)=3>0，
所以f(-2)·f(-1)<0，
又函数f(x)=x3-3x+1是连续的曲线，
所以f(x)在区间(-2,-1)内有零点.
课堂小结
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
课后作业
课本第92页习题3.1A组第1、2题；
课本第112页复习参考题A组第1题.
3.1.2
用二分法求方程的近似解
讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
新课导入
上节课我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？
如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法.
我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解.
1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；
2．用计算器计算f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内；
3．再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)≈0.512，因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.
4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 -0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
表3-2
当精确度为0.01时，
由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，
所以，我们可将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，
也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.
二分法 ：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.
二分法的计算步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2.求区间(a,b)的中点c；
3.计算f(c)；
二分法的计算步骤
4.判断：(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）.
5.判断：区间长度是否达到精确度ε？
即若|a-b|<ε，则得到零点近似值；
否则重复2——5.
说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》.
课堂例题
例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
表3-3
再作出函数f(x)=2x+3x-7的图象
图3.1-5
根据所列的对应值表和图象可知，f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器可算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中点x2=1.25，用计算器可算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，
此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4.
所以，原方程精确到0.1的近似解为1.4.
例2. 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（误差不超过0.1).
解：原方程即2x3+3x-3=0，令f(x)=2x3+3x-3，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x3+3x-3的对应值表
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y=2x3+3x-3 -22 -8 -3 2 19 60 137 262 447
表3-3
再作出函数f(x)=2x3+3x-3的图象
图3.1-6
x
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根据所列的对应值表和图象可知，f(0)·f(1)<0，说明这个函数在区间(0,1)内有零点x0.
取区间(0,1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-1.25.因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈(0.5,1).
再取(0.5,1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.09.因为f(0.5)·f(0.75)<0，所以x0∈(0.5,0.75).
同理可得，x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.6875,0.75)， x0∈(0.71875,0.75)，x0∈(0.734375,0.75) ， x0∈(0.734375,0.7421875) .
由于|0.734375-0.7421875|=0.0078125<0.1，
此时，区间(0.734375,0.7421875)的两个端点精确到0.1的近似值都是0.7.
所以，原方程精确到0.1的近似解为0.7.
课堂练习
1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点(精确度0.1).
2. 借助计算器或计算机，用二分法求函数x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).
课堂小结
1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，那么一定存在c∈(a,b)，使得f(c)=0.
2．二分法的实施要点是什么？
二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间[a,b]平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度 的小区间.当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值.
课后作业
课本第92页习题3.1A组3、4、5题；
课本第92页习题3.1B组1、2、3题
3.1.1
方程的根与函数的零点
（1）
讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，
方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；
方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；
方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；
再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.
方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
x
y
O
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-2
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1
2
1
2
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图3.1-1(1)
可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3；
函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点
(-1,0),(3,0).
这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.
方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
x
y
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1
2
图3.1-1(2)
可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根
x1=x2=1；
函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).
这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数
y=x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标.
方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
图3.1-1(3)
x
y
O
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1
2
1
2
3
4
方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.
上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)也成立.
设判别式△=b2-4ac，我们有：
（1）当△>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；
（2）当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.
换言之：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不同根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个重根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴没有交点；
总之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标.
一、函数的零点
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）.
显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
课堂例题
例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5
图例1(1)
x
y
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由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.
解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3
图例1(2)
x
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由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=-3没有实数根.
课堂练习
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
课后作业
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
3.1.1
方程的根与函数的零点
（2）
复习导入
问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？
答：方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？
参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程
求解》
探究
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？
x
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图3.1-2
新课
经过讨论，可以发现：f(-2)·f(1)<0，
函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1，
它是方程x2-2x-3=0的一个根.
同样地，f(2)·f(4)<0，
函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，
它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
课堂练习
画出二次函数f(x)=-x2-x+2的图象，观察函数f(x)=-x2-x+2在区间[-5,0]上是否有零点.计算f(-5)与f(0)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[0,4]上是否也具有这种特点呢？
图3.1-3
x
y
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3
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-5
经过讨论，可以发现：f(-5)·f(0)<0，
函数f(x)=-x2-x+2在区间(-5,0)内有零点x=-2，
它是方程-x2-x+2=0的一个根.
同样地，f(0)·f(4)<0，
函数f(x)=-x2-x+2在区间(0,4)内有零点x=1，
它是方程-x2-x+2=0的另一个根.
一般地，我们有：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
课堂例题
例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.
解：作出x、f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.33863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
再作出y=f(x)的图象：
图3.1-4
由以上表格和图象可知，f(2)<0，f(3)>0，即
f(2)·f(3)<0,
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，
所以，它仅有一个零点.
课堂练习
1. 利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点
所在的大致区间：
（1）f(x)=-x3-3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x-2)-3；
（3）f(x)=ex-1+4x-4; （4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.
图3.1-5（1）
解：由图象可知， f(1)>0， f(2)<0，即
f(1)·f(2)<0,
说明这个函数在区间(1,2)内有零点.
由于f(x)在定义域R内是减函数，
所以，它仅有一个零点.
图3.1-5（2）
由以上表格和图象可知，f(3)<0，f(4)>0，即
f(3)·f(4)<0.
说明这个函数在区间(3,4)内有零点.
由于f(x)在定义域(2,+∞)内是增函数，
所以，它仅有一个零点.
2．已知函数f(x)=x3-3x+1，问该函数在区间(-2,-1)内是否有零点？
解：因为f(-2)=-1<0，f(-1)=3>0，
所以f(-2)·f(-1)<0，
又函数f(x)=x3-3x+1是连续的曲线，
所以f(x)在区间(-2,-1)内有零点.
课堂小结
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
课后作业
课本第92页习题3.1A组第1、2题；
课本第112页复习参考题A组第1题.
3.1.2
用二分法求方程的近似解
讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
新课导入
上节课我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？
如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法.
我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解.
1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；
2．用计算器计算f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内；
3．再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)≈0.512，因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.
4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 -0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
表3-2
当精确度为0.01时，
由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，
所以，我们可将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，
也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.
二分法 ：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.
二分法的计算步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2.求区间(a,b)的中点c；
3.计算f(c)；
二分法的计算步骤
4.判断：(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）.
5.判断：区间长度是否达到精确度ε？
即若|a-b|<ε，则得到零点近似值；
否则重复2——5.
说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》.
课堂例题
例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
表3-3
再作出函数f(x)=2x+3x-7的图象
图3.1-5
根据所列的对应值表和图象可知，f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器可算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中点x2=1.25，用计算器可算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，
此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4.
所以，原方程精确到0.1的近似解为1.4.
例2. 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（误差不超过0.1).
解：原方程即2x3+3x-3=0，令f(x)=2x3+3x-3，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x3+3x-3的对应值表
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y=2x3+3x-3 -22 -8 -3 2 19 60 137 262 447
表3-3
再作出函数f(x)=2x3+3x-3的图象
图3.1-6
x
y
O
2
1
-1
1
-8
-2
4
3
2
-5
-4
-6
-7
-1
-2
-3
根据所列的对应值表和图象可知，f(0)·f(1)<0，说明这个函数在区间(0,1)内有零点x0.
取区间(0,1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-1.25.因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈(0.5,1).
再取(0.5,1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.09.因为f(0.5)·f(0.75)<0，所以x0∈(0.5,0.75).
同理可得，x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.6875,0.75)， x0∈(0.71875,0.75)，x0∈(0.734375,0.75) ， x0∈(0.734375,0.7421875) .
由于|0.734375-0.7421875|=0.0078125<0.1，
此时，区间(0.734375,0.7421875)的两个端点精确到0.1的近似值都是0.7.
所以，原方程精确到0.1的近似解为0.7.
课堂练习
1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点(精确度0.1).
2. 借助计算器或计算机，用二分法求函数x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).
课堂小结
1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，那么一定存在c∈(a,b)，使得f(c)=0.
2．二分法的实施要点是什么？
二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间[a,b]平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度 的小区间.当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值.
课后作业
课本第92页习题3.1A组3、4、5题；
课本第92页习题3.1B组1、2、3题