1.3函数的基本性质

(共51张PPT)
单调性与最大(小)值
——函数的单调性
1.3.1
新课导入
一、情景问题
如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32 C），观察这张气温变化图：
问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？
问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？
请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法.
可观察到的图象特征：
（1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的；
（2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-∞,0]上，随x着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.
归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映.
思考：
1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？
2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？
对于函数f(x)=x2 ，经过师生讨论得出：
在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时，有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.
请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.
新课
一、函数的单调性
1.增函数的定义
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是减函数的定义.
2.减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）.
3．对定义要点分析
1） 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的;
2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）.
3．对定义要点分析
3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，
这一区间D叫做f(x)的单调区间.
说明：
(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；
(2)判断函数的单调性的方法：
比较法（要注意变形的程度）
课堂例题
-5
-4
O
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-2
-1
1
2
3
x
y
课堂练习
1.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
2. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
工人数
生产效率
O
3. 整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
4. 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
-1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
O
x
y
课堂小结
（1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的.
（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.
（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
课后作业
课本第39页习题1.3A组第1、2、3题.
课本第44页复习参考题A组第9题.
单调性与最大(小)值
—函数的最大(小)值
1.3.1
-5
-4
O
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-2
-1
1
2
3
x
y
发现，函数图象在x=-2时，其函数值最小，
而在x=1时，其函数值最大.
-5
-4
O
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-2
-1
1
2
3
x
y
观察f(x)=x2的图象
有一个最低点
观察f(x)=-x2的图象
x
y
O
有一个最高点
观察函数f(x)=x的图象
发现，没有最低点，也没有最高点.
新课
函数的最大（小）值
1．函数的最大（小）值的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum
value)。
请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)的最小值的定义.
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
课堂例题
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
课堂练习
1. 设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数.如果f(x)在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个__________________.
2．函数的最大（小）值与单调性的关系
从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系.
我们再看一个例子.
例3 观察下图，用函数的单调性研究以下问题：
(1) 若函数y=f(x)的定义域为x∈[b,e]，求
最大值和最小值；
例3 观察下图，用函数的单调性研究以下问题：
(2) 若函数y=f(x)的定义域为x∈[a,e]，求最
大值和最小值；
例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：
(3) 若函数y=f(x)的定义域为x∈[b,d)，求最
大值和最小值；
课堂小结
函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质.一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性，对于最小值也一样.
我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值.
课后作业
课本第39页习题1.3A组第5题；
课本第39页习题1.3B组第1、2题.
1.3.2 奇偶性
导入新课
从对称的角度，观察下列函数的图象：
函数f(x)=x2,g(x)=|x|
这两个函数图象有什么共同的特征
请列出从 3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？
请列出从 3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？
讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等.
反映在图象上，函数图象关于y 轴对称.
新课
1．偶函数
如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-
x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even
function)．
定义域关于坐标原点对称.
请你举出偶函数的例子.
观察函数f(x)=x和 的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？
（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；
（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；
（3）从函数值看，x与-x的函数值的绝对值相等且符号相反.
2．奇函数
如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(old function)．
定义域关于坐标原点对称.
请你举出奇函数的例子.
3．函数的奇偶性
奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．
（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
课堂练习
课堂练习
x
O
y
f(x)
x
O
y
g(x)
课堂小结
本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法.我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考.
定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性.由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质.
课后作业
课本第39页习题1.3A组第6题，B组第3题.
课本第44页复习参考题A组第10题.
课后作业