2.1指数函数

(共119张PPT)
指数与指数幂的运算
——根式与运算
2.1.1
新课导入
问题1. 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001—2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么：
1年后(即2001年),我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)倍;
2年后(即2002年),我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)2倍;
3年后(即2003年),我国的GDP可望为2000年的________倍;
4年后(即2004年),我国的GDP可望为2000年的________倍;
……
设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么
即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的1.073x倍。
想一想，正整数指数幂1.073x的含义是什么？它具有哪些运算性质？
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
考古学家根据(*)式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.例如，
当生物死亡了5730，2 5730，3 5730，…年后，它体内碳14的含量P分别为
当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为
想一想，这些式子的意义又是什么呢？
——这些正是本节课要学习的内容.
回顾初中学习的内容：平方根、立方根
4的平方根为±2，3的平方根为 ，16的平方根为±4，等等.
一般地，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
对于立方根请同学们举出若干例子？
一般地，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
25=32，那么2是32的5次方根，记作 ；
35=243，那么3是243的5次方根，记作 ；
24=16，那么2是16的4次方根，记作 ；
34=81，那么3是81的4次方根，记作 ；
(-2)5=-32，那么 2是-32的5次方根，记作 ；
(-2)2=16，那么 2也是16的4次方根，记作 .
一、根式
新课
一般地,如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N *.
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号 表示.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 （a>0）.
例如16的4次方根可以表示为
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
式子 叫做根式（radical），其中n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.
二、根式的性质
通过讨论探究得到：
例如，
课堂例题
例1. 求下列各式的值：
课堂例题
例1. 求下列各式的值：
课堂练习
求值：
（1）
课堂练习
求值：
（2）
课堂练习
求值：
（3）
课堂小结
根式：如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.
根式性质：
课后作业
课本第59页习题2.1A组第1（1）——（4）题.
指数与指数幂的运算
——分数指数幂
2.1.1
复习导入
通过提问复习上节课主要学习内容．
1．请讲一讲你所理解的根式.
2．根据n次方根的定义和数的运算，能否把根式表示为分数指数的形式？
看下面的例子：
当a>0时，
从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
为此，我们先回顾初中所学的指数概念.
0的0次幂没有意义，
讨论: (a-b)0的结果是什么？
注意分类讨论
问：我们学习过整数指数幂哪些运算性质：
根据n次方根的定义，
规定正数的正分数指数幂的意义是：
新课
0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当a<0时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式.
例如：
而
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用.
课堂例题
例2. 求下列各式的值：
课堂例题
课堂例题
例2. 求下列各式的值：
课堂练习
1. 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
课堂练习
2. 计算下列各式（式中字母都是正整数）
课堂练习
2. 计算下列各式（式中字母都是正整数）
课堂练习
3.计算下列各式：
课堂练习
3.计算下列各式：
课堂小结
（1）分数指数幂的定义，注意底数a>0的限制条件.
（2）分数指数幂的运算性质，是整数指数幂的运算性质的推广.
课后作业
课本第54页练习1、2（1）——（6）题；
课本第59页习题2.1A组第2、3题.
指数与指数幂的运算
——无理指数幂
2.1.1
课堂练习
1. 计算下列各式：
课堂练习
1. 计算下列各式：
课堂练习
1. 计算下列各式：
课堂练习
1. 计算下列各式：
课堂练习
2. 计算下列各式（式中各字母均为正数）：
课堂练习
2. 计算下列各式（式中各字母均为正数）：
课堂练习
2. 计算下列各式（式中各字母均为正数）：
课堂练习
2. 计算下列各式（式中各字母均为正数）：
问：我们如何 理解呢？
新课
首先明确： 表示一个确定的实数.
然后通过计算器完成下表：
的不足近似值 的近似值
1.4
1.41
1.414
1.4142
1.41421
1.414213
1.4142135
1.41421356
1.414213562
… …
9.518269694
9.672669973
9.735171039
9.738305174
9.738461907
9.738508928
9.738516765
9.738517705
9.738517736
然后通过计算器完成下表：
的近似值 的过剩近似值
1.5
1.42
14.15
1.4143
1.41422
1.414214
1.4142136
1.41421357
1.414213563
… …
11.18033989
9.829635328
9.750851808
9.73987262
9.738618643
9.738524602
9.738518332
9.738517862
9.738517752
发现下面的规律：
所以， 就是一串有理数指数幂51.4，51.41，51.412，…和另一串有理数指数幂51.5，51.42，51.415，51.4143，…按上述变化规律变化的结果。这个过程可以用图2.1-1表示.
51.41
51.414
51.4142
51.4143
51.415
51.42
51.5
51.4
图2.1-1
无理指数幂
一般地，无理指数幂aα（a>0,α是无理数)是一个确定的数.
有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂.
即：
表示一个确定的实数．按照前面的“用有理数逼近无理数”的思想，请你利用计算器（或者计算机）进行实际操作，感受“逼近”过程.
取 的不足近似值或过剩近似值：
1．4，1．41，1．414，1．4142，1．41421……
（ 的不足近似值）
1．5，1．42，1．415，1．4143，1．41422……
（ 的过剩近似值）
可以得到21.4，21.41，21.414，21.4142，21.41421……
和21.5，21.42，21.415，21.4143，21.41422……，
课堂小结
本节课我们通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂.像分数指数幂一样，我们研究的无理数指数幂aα（其中α是无理数）的底数α也是正数.
课后作业
课本第59页习题2.1A组第4（5）——（8）题.
指数函数及其性质(1)
2.1.2
复习导入
问：底数a的取值范围怎么规定合适？
当a=1时，1x=1，所以规定a≠1；
当a<0时，如(-3)x中，指数x取 时，(-3)x就没有意义；
a=0时，当x>0时，ax恒为0；当x≤0时，ax无意义.
结论：规定a>0，且a≠1.
1．指数函数的定义
一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域是R．
新课
课堂例题
例1. 当动植物体死亡以后，体内14C的浓度就要因为它的衰变发生减少，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．这样,人们就可以根据生物体中含有的14C的多少来测定其生存的年代.考古学家得到一块鱼化石, 根据鱼化石中的14C的残留量，考古学家推断这群鱼是6300多年前死亡的，求这块鱼化石中14C的残留量约占原始含量的多少？
解:设鱼化石中14C的原始含量为1，1年后残留量为x，由于死亡机体中原有的14C按确定的规律衰减，所以生物体的死亡的年数t与其体内每克组织的14C含量y有如下关系：
死亡年数t 1 2 3 … t …
14C含量y x x2 x3 … x4 …
因此，生物死亡t年后体内14C的含量y=xt
由于大约每经过5730年，死亡生物体内的14C含量衰减为原来的一半，所以
于是
这样生物死亡t年后体内14C含量
当x=6300时，利用计算器，
得到
即这块鱼化石中 的残留量约占原始含量的46.67%．
在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．
（1）先画y=2x的图象，再画 的图象，再单独观察两个函数的图象特征，再比较两个图象的关系.
（2）进行适当讨论之后，再画y=3x和 的图象，并与前面观察所得结论进行比较.
(1)这些图象都位于x轴上方;
(2)这些图象都经过(0,1)点;
(3) 当a>1时,图象在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1;0（3）通过观察以上函数的图象的特征，归纳出指数函数的性质．
图象特征
(4) 自左向右看，当a>1时,图象逐渐上升;当0(1) x取任何实数值时,都有ax>0;
(2) 无论a为任何正数,都有a0=1;
(3)当 a>1时,x>0,则ax>1; x<0,则ax<1;
当00,则ax<1;x<0,则ax>1；
(4) 当a>1时,y=ax是增函数;
当0函数性质
3．指数函数的性质
一般地，指数函数 (a>0,且a≠1)的图象和性质如下表所示．
a>1 0图
象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性
质 （1）过定点(0,1)，即x=0时，y=1．
（2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
例2. 已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点（3， ），求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
课后小结
本节课主要学习了指数函数的图象和性质.通过一般的指数函数的特征图象，并再次显示指数函数的性质.
课后作业
课本第59页习题2.1A组第5、6题.
指数函数及其性质(2)
2.1.2
1．指数函数的定义
一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域是R．
复习导入
a>1 0图
象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性
质 （1）过定点(0,1)，即x=0时，y=1．
（2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
复习导入
课堂例题
例1. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5，1.73；
（2）0.8-0.1，0.8-0.2；
（3）1.70.3，0.93.1.
解：（1）1.72.5、1.73可以看作函数y=1.7x的两个函数值.
∵底数1.7>1，
∴y=1.7x在R上是增函数,
∵2.5<3，
∴1.72.5<1.73 ,
即： 1.72.5<1.73 .
解：（2）0.8-0.1、0.8-0.2可以看作函数y=0.8x的两个函数值.
∵底数0<0.8<1，
∴y=0.8x在R上是减函数,
∵-0.1>-0.2，
∴0.8-0.1<0.8-0.2,
即： 0.8-0.1<0.8-0.2.
解：（3） ∵1.70.3>1.70=1，
0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>1>0.93.1,
即： 1.70.3>1>0.93.1.
例2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
课堂例题
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.
1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年（即2000年），人口数为
13+13×1%=13×(1+1%)（亿）；
经过2年（即2001年），人口数为
13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%
=13×(1+1%)2（亿）；
经过3年（即2002年），人口数为
13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%
=13×(1+1%)3（亿）；
……
所以，经过x年，人口数为
y=13×(1+1%)x=13×1.01x（亿）.
当x=20时，
y=13×1.0120≈16（亿）.
所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.
探究：（1）如果人口年均增长率提高1个百分点，利用计算器分别计算20年，33年后我国的人口数.
探究：（2）如果年均增长率保持在2%，利用计算器计算2020~2100年，每隔5年相应的人口数.
探究：（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
探究：（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？
1．比较下列各题中两个数的大小：
（1）1.93.5，1.94；
课堂练习
1．比较下列各题中两个数的大小：
（2）0.6-0.2，0.6-0.1；
1．比较下列各题中两个数的大小：
（3）1.80.3，0.73.1.
课后作业
课本第59页习题2.1A组第7、8、9题.
指数函数及其性质(3)
2.1.2
复习导入
问1：我们按照怎样的顺序扩充指数及其运算？
答：从具体的实际问题引出指数的取值范围应进行必要的扩充，先把整数指数幂扩充到分数指数幂，再进一步扩充到无理指数幂.在扩充过程中整数指数幂的运算性质仍然保留，但分数指数幂 的意义以及指数的运算性质中的限制条件“a>0”是必不可少的.
复习导入
问2：对于指数函数y=ax，你认为需要注意哪些方面？
答：（1）底数a的取值有范围限制：a>0且a≠1；
（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
例如y=ax+k（a>0且a≠1，k≠0），y=kax（a>0且a≠1，k≠1）.
有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是.例如y=a-x（a>0且a≠1）.
形如y=kax（a>0且a≠1，k≠0）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的y=N(1+p)x（x∈N）模型，就是此类型.
（3）指数函数y=ax从大的来说按照底数分为两类：01.不要混淆这两类函数的性质.
问2：对于指数函数y=ax，你认为需要注意哪些方面？
（4）函数y=ax的图象与y=a-x（a>0且a≠1）的图象关于y轴对称，这是因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称.根据这种对称性就可以通过函数y=ax的图象得到y=a-x的图象.
问2：对于指数函数y=ax，你认为需要注意哪些方面？
（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较.对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题.
问2：对于指数函数y=ax，你认为需要注意哪些方面？
课堂例题
例1. 解决下面问题：
例1. 解决下面问题：
例1. 解决下面问题：
例1. 解决下面问题：
例1. 解决下面问题：
例1. 解决下面问题：
C
例2 在抗击“SARS”中，某医药研究所开发出防治“SARS”的M、N两种同类型新药.据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用两种药物后每毫升血液中的含药量y(微克)与服药后的时间t(小时)之间分别近似满足右图所示的曲线，其中OA是线段,曲线ABC是型如y=kat(t≥1,a>0且k,a是常数)的函数图像.
C
M药
N药
(1)分别写出服用两种药后y关于t的函数关系式;
M药
N药
(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中哪种药的药效持续时间较长？
(3)假如两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，则何时两位病人每毫升血液中含药量相等 何时开始,服用M药的病人每毫升血液中含药量较高？
思考：1.假如某病人早上6点第一次服用M药,为了保持每毫升血液中不少于2微克的含药量，第二次服药时间应该在当天几点钟
2．外来物种水葫芦在1901年作为观赏植物引入中国，但是到了100年后的今天，水葫芦已经到了一发而不可收拾的地步了.水葫芦每5天就繁殖1倍，试建立水葫芦的数量关于时间变量的函数关系式.
本节课我们通过对一类药物残留量问题的探究,学习了如何根据实际问题建立指数函数模型、如何利用指数函数的单调性解决实际问题，同时也对数形结合的思想方法有了更深的认识.当然，指数函数的应用中还有很多问题值得我们继续探究.
课堂小结
课后作业
课本第82页复习参考题A组第1、2、7、9题.