沪科版九年级下册数学教案：24.1旋转

《旋转》教案
教学目标
1、了解旋转及其旋转中心和旋转角等相关概念．
2、理解旋转的基本性质并利用性质解决相关问题．
3、认识两个图形关于某一点或中心对称的本质：就是一个图形绕一点旋转180°而成．
4、利用中心对称的特征作出某一图形成中心对称的图形，确定对称中心的位置．
5、熟记中心对称图形的有关概念．
6、叙述并应用中心对称图形的基本性质．
教学重难点
重点：
1、旋转及对应点的有关概念及其应用．
2、中心对称的性质及初步应用．
3、中心对称图形的定义及其性质．
难点：
1、从活生生的数学中抽象出概念．
2、中心对称与旋转之间的关系．
3、中心对称图形的定义．
教学过程
一、认识旋转
(一)学生预习教师导学
观察下列图片：
(1)由平面图形转动而产生的奇妙图案；(2)汽车上的雨刮器．
●这些情景中的转动现象，有什么共同特征？
(二)学生探究教师引领
1、建立旋转的概念：
试一试，请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转．
问题：单摆上小球的转动由位置A转到B，它绕着哪一个点转动？沿着什么方向(顺时针或逆时针)？转动了多少角度？
图1：在同一平面内，点A绕着定点O旋转某一角度得到点B；
图2：在同一平面内，线段AB绕着定点O旋转某一角度得到线段CD；
图3：在同一平面内，△ABC绕着定点O旋转某一角度得到△DEF．
旋转定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，图形的这种变化称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．
对应点到旋转中心的距离相等．旋转的三个要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．
思考：
①同学们观察图3，点A，线段AB，∠ABC分别转到了什么位置？
②请找出图3中其他的对应点、对应线段、对应角，并指出旋转中心和旋转角度．
(三)学生展示教师激励：
例1如图4-20，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：
(1)写出它的旋转中心和旋转角；
(2)经过旋转，点A、C，B分别到达什么位置？
(3)AO与DO的长有什么关系？你还能在图4-20中找出相等的线段吗？说明理由；
(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？你还能在图4-20中找出相等的角吗？说明理由．
解：(1)旋转中心是点O，旋转角是∠AOD．
(2)点A，C，B分别旋转到点D，F，E．
(3)AO=DO，BO=EO，AC=DF，CB=FE．
(4)∠AOD=∠BOE，∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠E，∠AOB=∠DOE．
二、中心对称
观察图中三个图形旋转的角度，发现哪个图形与其他二个不同？
(一)合作交流解读探究：
教师指出在生活中有许许多多的图形都具有以上特征，在各个领域中都有广泛的应用．它都能给人以一种美的享受．本节我们就来研究这些图形的形成——中心对称．
探究：如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形；
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A'B'C'；
第三步，移开三角板．
这样画出的△ABC与△A'B'C'，关于点O对称．分别连接对应点AA'、BB'、CC'．点O在线段AA'上吗？如果在，在什么位置？△ABC与△A'B'C'有什么关系？
发现：我们可以发现：(1)点O是线段AA’的中点；(2)△ABC≌△A'B'C'．
上述发现可以证明如下．
(1)点A'是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA'，所以点O在线段AA'上，且OA＝OA'，即点O是线段AA'的中点．
(2)在△AOB与△A'OB'中，
OA=OA'，OB＝OB'，∠AOB＝∠A'OB'，
∴△AOB≌△A'OB'．
∴AB＝A'B'．
同理BC＝B'C'，AC＝A'C'．
∴△ABC≌△A'B'C'．
探索：下图中△A'B'C'与△ABC关于点O是成中心对称的，你能从图中找到那些等量关系？
结论：(1)关于中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
例1如图24-6，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对应点，再顺次连接各对应点即可．
作法
1．连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A的对应点A′．
2．同理，可作出点B，C，D的对应点B′，C′，D′．
3．顺次连接点A′，B′，C′，D′．
则四边形即为所作A′B′C′D′．
三、中心对称图形
如下图所示，在一个平行四边形纸板上，连结两条对角线，得到交点O，用图钉过点O将纸板固定在一张纸上，并描下此时四边形ABCD的轮廓．绕点O旋转平行四边形纸板，使得点A移动到点C的位置．
(1)此时的纸板与原来的位置是否重合？
(2)指出旋转中心，求出旋转角的度数．
(3)根据上面的过程，你能验证平行四边形的哪些性质？与同伴交流．
(学生动手做、讨论、总结)
［生1］把平行四边形纸板绕对角线的交点O旋转，使点A移动到点C的位置时，纸板与描下的轮廓重合．
平行四边形旋转的中心是对角线的交点O，由于点A和点C在一条直线上，所以旋转的角度为180°．
［师］这位同学分析得很正确：下面来看第(3)个问题，大家互相交流交流．
［生2］从刚才旋转的过程中，验证了平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分等性质．
［师］很好，我们来看(演示刚才学生旋转的过程)，这个平行四边形绕它的对角线的交点O旋转180°，它与原图重合，我们把这样的图形，称为中心对称图形．
［师］我们再来看这根木条(出示教具)，它绕着这一点(指出木条的中点)旋转180°时，也和原图重合．即与它本身重合，这样的图形叫中心对称图形．
大家来总结归纳：什么是中心对称图形？
［生］把一个图形绕它的某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
［师］很好，在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形(centralsymmetryfigure)．这个点叫做它的对称中心．
想一想，平行四边形的对称中心是什么？
［生］平行四边形的对称中心是对角线的交点．
［师］对，大家再想一想：我们学过的哪些图形是中心对称图形．
［生］线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形．
［师］很好，它们的对称中心各是什么？
［生］线段的对称中心是线段的中点．平行四边形的对称中心是对角线的交点，因为矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，所以它们的对称中心都是对角线的交点．
［师］这位同学回答得真棒．
假设点A是某个中心对称图形上的一点，绕O点旋转180°后，它变成了点C，点A和点C就是一对对应点，而且O是AC的中点．(如图)
再看平行四边形是中心对称图形，点B绕O点旋转180°后，它与点D重合，点B和点D就是一对对应点，从平行四边形的性质也可知：O是BD的中点．
由此大家能否总结出中心对称图形的性质吗？
［生］中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段的中点都是对称中心．
［师］同学们总结得很好，这就是中心对称图形的性质．
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
中心对称图形在日常生活和生产中有广泛的应用，请你举出所看到的中心对称图形的实例．
［生甲］家庭装饰中的各种图案、竹签做的玩具小飞机、纸做的小风车．
［生乙］飞机的双叶螺丝桨、风车的风轮．
［生丙］水泵叶轮……
［师］很好，大家举出这么多中心对称图形的例子．你能说说中心对称图形在欣赏和实用方面的价值吗？(出示一些中心对称图形的图片)．
［生1］中心对称图形的形状匀称、美观，所以在很多建筑物和工艺品上常用这种图形作装饰图案．
［生2］由于中心对称图形绕中心旋转180°，后与原来的图形重合．所以具有中心对称图形的物体，在平面内能绕对称中心平稳地旋转．这种特性在生活和生产中都有应用．
［师］同学们回答得真棒．下面大家拿出扑克牌，看看这些牌的牌面哪些是中心对称图形？
［生1］红桃2、方块2、黑桃2、黑桃10、方块J、梅花10、方块K、黑桃4．
［生2］红桃4、红桃K、梅花Q．
［生3］方块中除7不是，其余的都是中心对称图形．
［师］很好，从大家回答中知道同学们基本掌握了中心对称图形的概念．
下面大家来“想一想”．
除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？
［生1］正六边形、正八边形、正十边形．
［生2］这样的多边形很多，在正多边形中，只要边数为偶数，那它就是中心对称图形．
［师］很好，下面我们来做练习，以巩固中心对称图形的定义及性质．
四、旋转的基本性质：
一般地，我们可以得到：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，
(1)旋转不改变图形的大小，对应边相等，对应角相等．
(2)图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了旋转角．
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都等于旋转角．
(4)成中心对称和中心对称图形的有关概念和它的基本性质．能判定一个图形是否是中心对称图形．
抽象出点的旋转
A
B
（图1）
O
抽象出三角形的旋转
·
O
A
B
CO
F
D
E
（图3）
·
O
A
B
C
D
（图2）
抽象出线的旋转