19.9 勾股定理 教案
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文档简介
勾股定理
教学目标：
1、
能说出勾股定理的内容。
2、
会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、
通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重点：探索勾股定理
教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。
教学过程设计
（一）提出问题：
首先创设这样一个问题情境：相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了一个伟大的数学结论.同学们一定很好奇，究竟毕达哥拉斯从图中发现了什么结论。下面，我们也来做一回数学家。
提问：教师：同学们，你们从图中发现有什么几何图形？
学生：图中有等腰直角三角形和正方形。
师：我们以等腰直角三角形的三条边为边长，向外做三个正方形。这三个正方形的面积有什么样的数量关系？
生：
问：如何找到这种数量关系？
答：借助于正方形的面积。
问：现在我们是否可以肯定这个结论是正确的？为什么？
答：不能，因为现在只是在等腰直角三角形这种特殊的三角形中，而且还没有证明。
（设计意图：
１、由于第一环节中呈现了模型及指向性，所以为本节在发现问题中降低了难度。
2.让学生感受数学问题往往来源于平常的生活事物中，加强学生善于用数学的眼光观察、思考问题的意识。
3、初步形成借助于面积来解决问题的策略，为第三环节的开展作铺垫)
（二）、探究问题，基本形成解决策略。
１、请同学们在正方形网格中利用上面的方法探究其它的直角三角形的三边关系，并填写表格（学生自主探究、合作交流）。
Ａ的面积（单位面积）
Ｂ的面积（单位面积）
Ｃ的面积（单位面积）
面积关系
直角三角形三边关系
２、展示结果，并解释原理。
关注：学生能否讲清楚正方形Ｃ的面积是通过割补得到的。
３、多媒体展示，得出结论。
４、引起数学思考。
（1）上述的结论是怎样得到的？
（2）上述的结论是否确保正确？为什么？
（3）那么怎样才能确保这个结论正确？
答：（1）上述的结论是借助正方形的面积关系得到的。
（2）上述的结论不能确保正确，原因一：是在方格纸上通过实验操作得到，原因二：直角三角形的三过还存在特殊性，其中两直角边都是整数。
（3）只有通过严谨的证明才可以。
设计意图：1、借助于第二环节中直角三角形及正方形的模型形成学生的正向迁移，引出第三环节中的模型。
2、利用第二环节中隐藏的解决策略，①借助正方形面积寻求三边关系，②用割补法求正方形面积，从而形成第三环节中的解决策略，并形成反思为第四环节的证明思路作铺垫，分散难点。
3、经历探索过程，体会从特殊到一般的探索方法，并养成严谨的数学思维习惯，为下一环节的证明打下基础。
四、验证问题，形成解决策略。
1、提出问题：（1）刚才我们对等腰直角三角形中直角边长为某些整数的直角三角形进行探究，从而发现了这个结论，但同学们说不能确保这个结论正确，那么，我们如何确保这个结论正确呢？
答：对于一般情况予以证明。
（2）结合上面的探究经验，我们在证明这个结论时应如何思考？
答：要借助于正方形的面积，想办法设计构建正方形。
（3）为什么？
答：因为结论中a2、b2、c2使我们想到正方形的面积。
2、小组合作动手拼接。现有四个全等的直角三角形，两直角边为ａ、ｂ，斜边为ｃ，请同学们动手拼一拼，能否从所拼的图形中验证这个结论？
注：教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助学生完成拼图活动。
３、学生展示分割、拼接过程，并表述证明过程。
４、多媒体展示几种证明方法。
方法（一）：赵爽弦图。
方法（二）：毕达哥拉斯。 方法（三）：
方法（四）：
方法（五）：伽菲尔德
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。
５、引出勾股定理。
设计意图：１、从第二、三环节的探索猜想到第四环节的一般证明，体现思维的发展过程。
２、通过拼图活动，体会数学中的数形结合思想。
３、贯穿于本节课的解决策略从第二环节的感受到第三环节的形成 到第四环节的应用体现了问题解决能力的逐渐升华。
４、给学生提供自主探究、合作交流的空间，发展学生探究意识和创新能力。
五、体现数学文化传承。
１、2002年北京国际数学家大会的会徽。
２、数学家华罗庚的宇宙“文明人”的探测。
３、无理数的发明。
４、数形结合的起始。
设计意图：使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
六、运用它解决实际问题。
学生自主完成第一环节中的问题情境，多媒体展示过程。
七、总结反思。
１、本节课我们经历了怎样的过程？
答：经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及运用它解决实际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
答：通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
３、本节课我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。
八、作业。
教学目标：
1、
能说出勾股定理的内容。
2、
会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、
通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重点：探索勾股定理
教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。
教学过程设计
（一）提出问题：
首先创设这样一个问题情境：相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了一个伟大的数学结论.同学们一定很好奇，究竟毕达哥拉斯从图中发现了什么结论。下面，我们也来做一回数学家。
提问：教师：同学们，你们从图中发现有什么几何图形？
学生：图中有等腰直角三角形和正方形。
师：我们以等腰直角三角形的三条边为边长，向外做三个正方形。这三个正方形的面积有什么样的数量关系？
生：
问：如何找到这种数量关系？
答：借助于正方形的面积。
问：现在我们是否可以肯定这个结论是正确的？为什么？
答：不能，因为现在只是在等腰直角三角形这种特殊的三角形中，而且还没有证明。
（设计意图：
１、由于第一环节中呈现了模型及指向性，所以为本节在发现问题中降低了难度。
2.让学生感受数学问题往往来源于平常的生活事物中，加强学生善于用数学的眼光观察、思考问题的意识。
3、初步形成借助于面积来解决问题的策略，为第三环节的开展作铺垫)
（二）、探究问题，基本形成解决策略。
１、请同学们在正方形网格中利用上面的方法探究其它的直角三角形的三边关系，并填写表格（学生自主探究、合作交流）。
Ａ的面积（单位面积）
Ｂ的面积（单位面积）
Ｃ的面积（单位面积）
面积关系
直角三角形三边关系
２、展示结果，并解释原理。
关注：学生能否讲清楚正方形Ｃ的面积是通过割补得到的。
３、多媒体展示，得出结论。
４、引起数学思考。
（1）上述的结论是怎样得到的？
（2）上述的结论是否确保正确？为什么？
（3）那么怎样才能确保这个结论正确？
答：（1）上述的结论是借助正方形的面积关系得到的。
（2）上述的结论不能确保正确，原因一：是在方格纸上通过实验操作得到，原因二：直角三角形的三过还存在特殊性，其中两直角边都是整数。
（3）只有通过严谨的证明才可以。
设计意图：1、借助于第二环节中直角三角形及正方形的模型形成学生的正向迁移，引出第三环节中的模型。
2、利用第二环节中隐藏的解决策略，①借助正方形面积寻求三边关系，②用割补法求正方形面积，从而形成第三环节中的解决策略，并形成反思为第四环节的证明思路作铺垫，分散难点。
3、经历探索过程，体会从特殊到一般的探索方法，并养成严谨的数学思维习惯，为下一环节的证明打下基础。
四、验证问题，形成解决策略。
1、提出问题：（1）刚才我们对等腰直角三角形中直角边长为某些整数的直角三角形进行探究，从而发现了这个结论，但同学们说不能确保这个结论正确，那么，我们如何确保这个结论正确呢？
答：对于一般情况予以证明。
（2）结合上面的探究经验，我们在证明这个结论时应如何思考？
答：要借助于正方形的面积，想办法设计构建正方形。
（3）为什么？
答：因为结论中a2、b2、c2使我们想到正方形的面积。
2、小组合作动手拼接。现有四个全等的直角三角形，两直角边为ａ、ｂ，斜边为ｃ，请同学们动手拼一拼，能否从所拼的图形中验证这个结论？
注：教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助学生完成拼图活动。
３、学生展示分割、拼接过程，并表述证明过程。
４、多媒体展示几种证明方法。
方法（一）：赵爽弦图。
方法（二）：毕达哥拉斯。 方法（三）：
方法（四）：
方法（五）：伽菲尔德
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。
５、引出勾股定理。
设计意图：１、从第二、三环节的探索猜想到第四环节的一般证明，体现思维的发展过程。
２、通过拼图活动，体会数学中的数形结合思想。
３、贯穿于本节课的解决策略从第二环节的感受到第三环节的形成 到第四环节的应用体现了问题解决能力的逐渐升华。
４、给学生提供自主探究、合作交流的空间，发展学生探究意识和创新能力。
五、体现数学文化传承。
１、2002年北京国际数学家大会的会徽。
２、数学家华罗庚的宇宙“文明人”的探测。
３、无理数的发明。
４、数形结合的起始。
设计意图：使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
六、运用它解决实际问题。
学生自主完成第一环节中的问题情境，多媒体展示过程。
七、总结反思。
１、本节课我们经历了怎样的过程？
答：经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及运用它解决实际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
答：通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
３、本节课我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。
八、作业。