24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
文档属性
| 名称 | 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 183.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-22 21:13:40 | ||
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文档简介
三角形一边的平行线判定定理
教材分析
本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X型图”或“A型图”或“分割三角形”，形成证明思路。这里“构建平行四边形”、“同一法”和“面积法”是学生已习得的知识和技能，因此证明“三角形一边平行线判定定理”的证明教学也可视为是对这些知识技能运用的巩固和检测，借此可提高学生的对于相关概念概念、性质、方法的迁移和运用能力。
学情分析
八年级下的学生已具备了一定的数学知识、技能与方法，积累了一定的数学学习经历与经验，初步会从数学的角度思考问题。但是，学生在用数学的眼光观察事物，提出问题、探索问题、解决问题的能力还存在不足和差异，因此教师在教学中应当注意引导学生从数学本质属性的角度进行思考，提高学生揭示数学知识的本质的能力，以此培养和提高学生思维的深刻性。
此外，学生在以往的学习中，对于用语言概括或描述“已通过演绎证明获得的结论”存在不足，例如表达的语言不够规范，语言表达不严谨，存在漏洞等，这也反应了学生思维的质疑和反思能力欠缺，缺乏批判性。例如在本节课中，学生对于推论中“同侧”这一关键词常常忽略，因此在本节课中需要引导学生发现问题，提出质疑，完善“三角形一边平行线的判定定理推理”。再如，“三角形一边平行线的性质定理”中可“由DE//BC，得到”，那么反之成立吗？学生不会主动进行考虑，这也是学生思维深刻性和批判性缺乏的表现，由于年龄特点，很多学生是达不到这一要求的，因此，在教学中，需要加以提示和引导，以此培养学生思维的深刻性和批判性。
总之，在学习过程中，要重视通过数学思维活动培养学生正确的思维形式；关注学生参与问题形成、问题探究和问题解决及数学活动中的体验与感悟，适时引导学生归纳总结，关注学生提出问题、探究问题的能力及思维品质的提高。
教学设想
基于以上对于教材的分析和学生学情的分析，本教学内容将采用“问题引领”教学策略，引导学生进行学习。授课过程中，“问题引领”主要用于以下几个环节：
环节
具体内容
概念形成
对由“三角形一边的平行线判定定理”中“截三角形的两边”推广至“推论”中“截三角形两边的延长线”的发现存在一定难度，这里需要进行“问题引领”。
概念形成
对于“推论”中“这两边的延长线在第三边的同侧”的发现和理解存在一定难度，这里也需要进行“问题引领”，加深学生对于概念的理解。
概念形成
“三角形一边的平行线性质定理推论”中可“由DE//BC，得到”，但是反之是否成立呢？这里需要进行“问题引领”，加深学生对于概念的理解。
概念应用
“三角形一边的平行线判定定理及其推论”为证明两直线平行又提供了一个重要的证明方法和途径，这需要教师进行引导学生理解和关注学习“三角形一边的平行线判定定理及其推论”的作用和意义。
概念应用
在运用“三角形一边的平行线判定定理”及其推论解决具体几何问题的过程中，灵活运用“中间比”解决线段成比例的问题。
教学目标
掌握三角形一边的平行线判定定理和它的推论及它们的初步运用；
在学习和运用判定定理的过程中掌握判断的三要素，合理、正确地对图形、问题进行判断，并能正确地表达判断；
会在已知图形中分解出基本图形，选择适当的比例式，利用“中间比”过渡，证明两条直线平行；
通过问题探究，以问题为载体和引领，引导学生对数学知识的本质进行深入的探究，培养和提高思维的深刻性和批判性。
教学重点
三角形一边的平行线判定定理、推论及应用。以问题探究为载体和引领，培养和提高思维的深刻性和批判性。
教学难点
利用线段成比例证明两条直线平行。有效地利用问题探究，培养和提高学生思维的深刻性和批判性。
教学过程
一．复习引入
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上（或边AB、AC的延长线上，或边AB、AC的反向延长线上）上，且DE//BC.则由三角形一边的平行线性质定理可得比例式：_______________________________.
（三角形一边的平行线性质定理）
（设计说明：复习“三角形一边的平行线性质定理”，并以问题“三角形一边的平行线性质定理的逆命题是否正确”为载体展开探究“三角形一边的平行线判定定理”的学习。）
二．新课探索
1.概念形成：
问题：三角形一边的平行线性质定理的逆命题是否正确？
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且___________，则DE//BC吗？
构建图形
题设
同一法（构造A型图）
过点D作DE’//BC，交AC于点E’
构造A型图或X型图
过点C作CF平行于AB，交DE的延长线于点F
延长EA至点E’，使得AE’=AE，过点E’作E’D’//BC，交BA的延长线于点D’
过点D作DF//AC。交BC于点F
面积法
联结BE和DC
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（设计说明：由各学习小组任意选择比例式进行判断，并交流表达，说明判断的依据或标准。问题的探究设计为条件开放式，学生可任意选择比例式作为条件，进行演绎证明三角形一边的平行线性质定理的逆命题是正确的，以此获得三角形一边的平行线判定定理。同时使学生认识到，三个比例式中的任意一个作为条件均可以获得DE//BC的结论。）
2．概念推广
问题：如果D、E在边AB、AC的延长线或方向延长线上，结论是否依然成立呢？
初步概括：如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
质疑：
注意：这两边的延长线必须在第三边的同侧
进一步完善三角形一边的平行线判定定理推论：
如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（设计说明：首先，提出如果点D、E在边AB、AC的延长线或反向延长线上，那么结论是否依然成立？引导学生思考，引起学生关注思考问题应当要严谨和全面，要学会自我反思，培养思维的深刻性和批判性。然后，通过叙述三角形一边的平行线判定定理推论，引导学生对概念内涵的正确理解和表述，再一次引起学生自我反思，培养思维的深刻性和批判性。）
概念内涵
议一议：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果，那么能够得到DE//BC，为什么？
（设计说明：这里再一次提出“由，能否得到DE//BC，”，引发学生对“三角形一边的平行线判定定理”内涵的理解。）
概念运用
在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行.
（1）AD=3cm，DB=4cm，AE=1.8cm，CE=2.4cm；
（2）AD=6cm，BD=9cm，AE=4cm，AC=10cm；
（3）AD=8cm，AC=16cm，AE=6cm，AB=12cm；
（4）AB=2BD，AC=2CE.
（设计说明：本题的难度不高，学生可通过所给的线段长度求出三角形被截两边所得的对应线段是否成比例，来进行判断DE与BC是否平行。因此，本题有学生独立完成并做集体交流。通过本题使学生掌握判断的三要素，即判断的标准，判断的合理性及正确表述判断，再次过程中，通过学生真实性的语言，不仅可对学生判断技巧的掌握进行诊断，同时对概念的掌握情况也可进行诊断。）
2.已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE//BC，
求证：EF//DC.
（设计说明：通过本题使学生体会三角形一边的平行线判定定理及其推论的作用是为证明两直线平行提供了又一个重要的方法和途径。其次本题中需要运用“中间比”，可培养学生的预见能力和灵活应变能力，提高学生思维的深刻性和灵活性。）
三．课内练习
已知：如图，点分别在射线上，且，.求证：.
变式：将上一题中的△ABC绕着点O旋转180°，其他已知条件不变的情况下，你觉得结论还成立吗？
（设计说明：通过本题组的练习巩固和检测学生对于新知掌握的情况，同时利用题组变式的练习，使学生体会问题中的变与不变，培养迁移能力，提高学生思维的深刻性。）
四、课堂小结．
证明两直线平行的新方法——三角形一边的平行线的判定定理及其推论
从定理的获得和运用角度，来谈谈你的学习体会
四、布置作业：
练习册24.3（3）
教材分析
本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X型图”或“A型图”或“分割三角形”，形成证明思路。这里“构建平行四边形”、“同一法”和“面积法”是学生已习得的知识和技能，因此证明“三角形一边平行线判定定理”的证明教学也可视为是对这些知识技能运用的巩固和检测，借此可提高学生的对于相关概念概念、性质、方法的迁移和运用能力。
学情分析
八年级下的学生已具备了一定的数学知识、技能与方法，积累了一定的数学学习经历与经验，初步会从数学的角度思考问题。但是，学生在用数学的眼光观察事物，提出问题、探索问题、解决问题的能力还存在不足和差异，因此教师在教学中应当注意引导学生从数学本质属性的角度进行思考，提高学生揭示数学知识的本质的能力，以此培养和提高学生思维的深刻性。
此外，学生在以往的学习中，对于用语言概括或描述“已通过演绎证明获得的结论”存在不足，例如表达的语言不够规范，语言表达不严谨，存在漏洞等，这也反应了学生思维的质疑和反思能力欠缺，缺乏批判性。例如在本节课中，学生对于推论中“同侧”这一关键词常常忽略，因此在本节课中需要引导学生发现问题，提出质疑，完善“三角形一边平行线的判定定理推理”。再如，“三角形一边平行线的性质定理”中可“由DE//BC，得到”，那么反之成立吗？学生不会主动进行考虑，这也是学生思维深刻性和批判性缺乏的表现，由于年龄特点，很多学生是达不到这一要求的，因此，在教学中，需要加以提示和引导，以此培养学生思维的深刻性和批判性。
总之，在学习过程中，要重视通过数学思维活动培养学生正确的思维形式；关注学生参与问题形成、问题探究和问题解决及数学活动中的体验与感悟，适时引导学生归纳总结，关注学生提出问题、探究问题的能力及思维品质的提高。
教学设想
基于以上对于教材的分析和学生学情的分析，本教学内容将采用“问题引领”教学策略，引导学生进行学习。授课过程中，“问题引领”主要用于以下几个环节：
环节
具体内容
概念形成
对由“三角形一边的平行线判定定理”中“截三角形的两边”推广至“推论”中“截三角形两边的延长线”的发现存在一定难度，这里需要进行“问题引领”。
概念形成
对于“推论”中“这两边的延长线在第三边的同侧”的发现和理解存在一定难度，这里也需要进行“问题引领”，加深学生对于概念的理解。
概念形成
“三角形一边的平行线性质定理推论”中可“由DE//BC，得到”，但是反之是否成立呢？这里需要进行“问题引领”，加深学生对于概念的理解。
概念应用
“三角形一边的平行线判定定理及其推论”为证明两直线平行又提供了一个重要的证明方法和途径，这需要教师进行引导学生理解和关注学习“三角形一边的平行线判定定理及其推论”的作用和意义。
概念应用
在运用“三角形一边的平行线判定定理”及其推论解决具体几何问题的过程中，灵活运用“中间比”解决线段成比例的问题。
教学目标
掌握三角形一边的平行线判定定理和它的推论及它们的初步运用；
在学习和运用判定定理的过程中掌握判断的三要素，合理、正确地对图形、问题进行判断，并能正确地表达判断；
会在已知图形中分解出基本图形，选择适当的比例式，利用“中间比”过渡，证明两条直线平行；
通过问题探究，以问题为载体和引领，引导学生对数学知识的本质进行深入的探究，培养和提高思维的深刻性和批判性。
教学重点
三角形一边的平行线判定定理、推论及应用。以问题探究为载体和引领，培养和提高思维的深刻性和批判性。
教学难点
利用线段成比例证明两条直线平行。有效地利用问题探究，培养和提高学生思维的深刻性和批判性。
教学过程
一．复习引入
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上（或边AB、AC的延长线上，或边AB、AC的反向延长线上）上，且DE//BC.则由三角形一边的平行线性质定理可得比例式：_______________________________.
（三角形一边的平行线性质定理）
（设计说明：复习“三角形一边的平行线性质定理”，并以问题“三角形一边的平行线性质定理的逆命题是否正确”为载体展开探究“三角形一边的平行线判定定理”的学习。）
二．新课探索
1.概念形成：
问题：三角形一边的平行线性质定理的逆命题是否正确？
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且___________，则DE//BC吗？
构建图形
题设
同一法（构造A型图）
过点D作DE’//BC，交AC于点E’
构造A型图或X型图
过点C作CF平行于AB，交DE的延长线于点F
延长EA至点E’，使得AE’=AE，过点E’作E’D’//BC，交BA的延长线于点D’
过点D作DF//AC。交BC于点F
面积法
联结BE和DC
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（设计说明：由各学习小组任意选择比例式进行判断，并交流表达，说明判断的依据或标准。问题的探究设计为条件开放式，学生可任意选择比例式作为条件，进行演绎证明三角形一边的平行线性质定理的逆命题是正确的，以此获得三角形一边的平行线判定定理。同时使学生认识到，三个比例式中的任意一个作为条件均可以获得DE//BC的结论。）
2．概念推广
问题：如果D、E在边AB、AC的延长线或方向延长线上，结论是否依然成立呢？
初步概括：如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
质疑：
注意：这两边的延长线必须在第三边的同侧
进一步完善三角形一边的平行线判定定理推论：
如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（设计说明：首先，提出如果点D、E在边AB、AC的延长线或反向延长线上，那么结论是否依然成立？引导学生思考，引起学生关注思考问题应当要严谨和全面，要学会自我反思，培养思维的深刻性和批判性。然后，通过叙述三角形一边的平行线判定定理推论，引导学生对概念内涵的正确理解和表述，再一次引起学生自我反思，培养思维的深刻性和批判性。）
概念内涵
议一议：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果，那么能够得到DE//BC，为什么？
（设计说明：这里再一次提出“由，能否得到DE//BC，”，引发学生对“三角形一边的平行线判定定理”内涵的理解。）
概念运用
在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行.
（1）AD=3cm，DB=4cm，AE=1.8cm，CE=2.4cm；
（2）AD=6cm，BD=9cm，AE=4cm，AC=10cm；
（3）AD=8cm，AC=16cm，AE=6cm，AB=12cm；
（4）AB=2BD，AC=2CE.
（设计说明：本题的难度不高，学生可通过所给的线段长度求出三角形被截两边所得的对应线段是否成比例，来进行判断DE与BC是否平行。因此，本题有学生独立完成并做集体交流。通过本题使学生掌握判断的三要素，即判断的标准，判断的合理性及正确表述判断，再次过程中，通过学生真实性的语言，不仅可对学生判断技巧的掌握进行诊断，同时对概念的掌握情况也可进行诊断。）
2.已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE//BC，
求证：EF//DC.
（设计说明：通过本题使学生体会三角形一边的平行线判定定理及其推论的作用是为证明两直线平行提供了又一个重要的方法和途径。其次本题中需要运用“中间比”，可培养学生的预见能力和灵活应变能力，提高学生思维的深刻性和灵活性。）
三．课内练习
已知：如图，点分别在射线上，且，.求证：.
变式：将上一题中的△ABC绕着点O旋转180°，其他已知条件不变的情况下，你觉得结论还成立吗？
（设计说明：通过本题组的练习巩固和检测学生对于新知掌握的情况，同时利用题组变式的练习，使学生体会问题中的变与不变，培养迁移能力，提高学生思维的深刻性。）
四、课堂小结．
证明两直线平行的新方法——三角形一边的平行线的判定定理及其推论
从定理的获得和运用角度，来谈谈你的学习体会
四、布置作业：
练习册24.3（3）