25.1.1 锐角三角比的意义 教案
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25.1（1）锐角三角比的意义
教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。
教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。
教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。
教学过程：
情景引入
操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为35度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？
1.尝试：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=3m,求CA.如果BC长为10m，那么AC长呢？
(2)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与邻边比值.
2.思考：
通过上面的计算，你能得到什么结论？
要求：
读懂引入题目中的图形，完成基本分析；
完成“尝试”练习，
读出题目深层含义，猜测结论。
新知探究
1.探究1：
如图：Rt△ABC与Rt△ADC’，∠C=∠B＇C＇A
=90°，∠A=α，那么与有什么关系?
结论：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
探究2：
在直角三角形中，当锐角A的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？
结论：
在直角三角形中，锐角∠A的对边与邻边的比值会随着锐角A的度数变化而发生改变。.
要求：
读懂题目要求，完成探究内容；
明确直角三角形中锐角与邻边、对边间的关系。
引入：
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA.
板书：tanA＝
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切.记作cotA.
板书：cotA==
巩固：
课后练习2。
同桌合作，自画图形，说出其中锐角的正切值和余切值的表示方式（以实际情况而定）。
新知应用
规范过程，板演例题。
例题1.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.
例题2.在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值.
要求：
会求直角三角形中锐角的正切值、余切值；
感悟∠A、∠B两角正切值、余切值间的关系。
问题拓展：
在上题中，在同一个直角三角形中，∠A的正切和余切有怎样的数量关系？∠B是∠A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？
巩固练习：
1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则cotA＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．
在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=，则边AC的长是(
)
A．
B．3
C．
D．
解决课前引入问题。
课堂小结
通过本节课的学习你学到了些什么？
你还有什么困惑？
你觉得在本课学习中有哪些注意点？
教学设计意图：
通过具体实例引入本节课研究内容，初步引入直角三角形中锐角与其对边、邻边间的关系问题。
引导学生由特殊角的计算猜测直角三角形中一般锐角与其对边、邻边间关系。
利用已学知识解决现有问题。
通过对“角度不变”、“角度变化”等问题的探究得到三角比。同时渗透函数的数学思想。
掌握直角三角形中，锐角的正切值、余切值的表示方式。
熟悉直角三角形中锐角正切值、余切值的求法，同时巩固相关定义。
思考探究，拓展思维，为之后的解三角形做铺垫。
巩固应用练习。
归纳小结，再次巩固新知
课后作业：
练习部分
习题25.1(1)
第1、2、3、4、5题
教学设计说明：
以发展思维能力为中心，启发阅读。
数学思想方法是数学素质的重要体现，本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼出超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找出新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确定后，其直角边的比值也确定，从而建立起新的数学概念——锐角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。本节课让学生讨论计算方法，自主编题地过程提高了学生思考问题、处理问题的能力，力图将其中的数学思维方法扎根在学生的脑海里，在今后的学习中发挥作用。?
以问题为载体引导“有效阅读”。
思维总是从问题开始的，有问题，学生才会主动思维。本节课试图让学生在不断解决问题、发现问题中学习，使他们知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，各方面都能够取得全面和谐的发展。本节课通过情境引入问题，引导学生思考“锐角对边与邻边之间比值关系”；由“探究”环节问题的阅读思考让学生明确了本节课研究的内容，让学生体会到在阅读中“放飞思维，读出课堂实效性”。教具演示是贯彻直观性教学原则的重型手段，使从具体的、直觉的思维上升到抽象思维的手段，“锐角正切、余切的概念形成”是本节课的难点，在观察、实验、动手操作的过程中，用简单的动画进行演示，以此激发学生的学习兴趣。通过学生探索、思考形成新的数学概念，由此也培养了学生的观察、分析、抽象的思维能力。
和谐对话，提升阅读质效。
在问题探究环节，小组合作，体现“和谐对话”的教学方式在教学中的作用，让更多学生参与知识的生成过程，参与真正学习中去，能将学习内容变得容易理解和掌握，同时也大大提高了课堂效率，使在有限的时间内取得最大的效益，因此体现出团队合作的优势，解决了独自阅读中学生中存在的困惑。让学生体会到学习数学不仅仅满足于记住结论，而应该更注重数学知识的发生过程。
教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。
教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。
教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。
教学过程：
情景引入
操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为35度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？
1.尝试：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=3m,求CA.如果BC长为10m，那么AC长呢？
(2)在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与邻边比值.
2.思考：
通过上面的计算，你能得到什么结论？
要求：
读懂引入题目中的图形，完成基本分析；
完成“尝试”练习，
读出题目深层含义，猜测结论。
新知探究
1.探究1：
如图：Rt△ABC与Rt△ADC’，∠C=∠B＇C＇A
=90°，∠A=α，那么与有什么关系?
结论：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
探究2：
在直角三角形中，当锐角A的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？
结论：
在直角三角形中，锐角∠A的对边与邻边的比值会随着锐角A的度数变化而发生改变。.
要求：
读懂题目要求，完成探究内容；
明确直角三角形中锐角与邻边、对边间的关系。
引入：
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA.
板书：tanA＝
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切.记作cotA.
板书：cotA==
巩固：
课后练习2。
同桌合作，自画图形，说出其中锐角的正切值和余切值的表示方式（以实际情况而定）。
新知应用
规范过程，板演例题。
例题1.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.
例题2.在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值.
要求：
会求直角三角形中锐角的正切值、余切值；
感悟∠A、∠B两角正切值、余切值间的关系。
问题拓展：
在上题中，在同一个直角三角形中，∠A的正切和余切有怎样的数量关系？∠B是∠A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？
巩固练习：
1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则cotA＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．
在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=，则边AC的长是(
)
A．
B．3
C．
D．
解决课前引入问题。
课堂小结
通过本节课的学习你学到了些什么？
你还有什么困惑？
你觉得在本课学习中有哪些注意点？
教学设计意图：
通过具体实例引入本节课研究内容，初步引入直角三角形中锐角与其对边、邻边间的关系问题。
引导学生由特殊角的计算猜测直角三角形中一般锐角与其对边、邻边间关系。
利用已学知识解决现有问题。
通过对“角度不变”、“角度变化”等问题的探究得到三角比。同时渗透函数的数学思想。
掌握直角三角形中，锐角的正切值、余切值的表示方式。
熟悉直角三角形中锐角正切值、余切值的求法，同时巩固相关定义。
思考探究，拓展思维，为之后的解三角形做铺垫。
巩固应用练习。
归纳小结，再次巩固新知
课后作业：
练习部分
习题25.1(1)
第1、2、3、4、5题
教学设计说明：
以发展思维能力为中心，启发阅读。
数学思想方法是数学素质的重要体现，本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼出超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找出新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确定后，其直角边的比值也确定，从而建立起新的数学概念——锐角的正切、余切的概念，并让学生感知学习这两个概念的实际意义。这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。本节课让学生讨论计算方法，自主编题地过程提高了学生思考问题、处理问题的能力，力图将其中的数学思维方法扎根在学生的脑海里，在今后的学习中发挥作用。?
以问题为载体引导“有效阅读”。
思维总是从问题开始的，有问题，学生才会主动思维。本节课试图让学生在不断解决问题、发现问题中学习，使他们知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，各方面都能够取得全面和谐的发展。本节课通过情境引入问题，引导学生思考“锐角对边与邻边之间比值关系”；由“探究”环节问题的阅读思考让学生明确了本节课研究的内容，让学生体会到在阅读中“放飞思维，读出课堂实效性”。教具演示是贯彻直观性教学原则的重型手段，使从具体的、直觉的思维上升到抽象思维的手段，“锐角正切、余切的概念形成”是本节课的难点，在观察、实验、动手操作的过程中，用简单的动画进行演示，以此激发学生的学习兴趣。通过学生探索、思考形成新的数学概念，由此也培养了学生的观察、分析、抽象的思维能力。
和谐对话，提升阅读质效。
在问题探究环节，小组合作，体现“和谐对话”的教学方式在教学中的作用，让更多学生参与知识的生成过程，参与真正学习中去，能将学习内容变得容易理解和掌握，同时也大大提高了课堂效率，使在有限的时间内取得最大的效益，因此体现出团队合作的优势，解决了独自阅读中学生中存在的困惑。让学生体会到学习数学不仅仅满足于记住结论，而应该更注重数学知识的发生过程。