北师大版九年级下册数学 2.4二次函数的应用 同步练习（Word版 含解析）

2.4二次函数的应用
同步练习
一．选择题
1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（　　）
A．1m
B．2m
C．m
D．m
2．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　）
A．11℃
B．27℃
C．35℃
D．36℃
3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m
B．4m
C．4
m
D．4m
4．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣60）2+1825
B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C．y＝﹣（x﹣65）2+1900
D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000
5．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s
0
1
2
3
4
滑行距离y1/s
0
4.5
14
28.5
48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（　　）米
A．270
B．280
C．375
D．450
6．抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　）
A．3.2
B．0.32
C．2.5
D．1.6
8．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝a（1+x）2
B．y＝a（1﹣x）2
C．y＝（1﹣x）2+a
D．y＝x2+a
9．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）
A．10m
B．20m
C．15m
D．22.5m
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　　）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是　
　m．
12．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了　
　米．
13．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为　
　．
14．已知某商品每箱盈利10元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价x元时（其中x为正整数），每天的总利润为y元，则y与x之间的关系式为　
　．
15．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝﹣2x2+4x+2与C2：u2＝﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），在C2的对称轴上存在这样的点M，使得线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上，请求出点M的坐标　
　．
三．解答题
16．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
17．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．
（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
18．已知某商品的进价是每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．据市场调查反映：销售价每涨1元，每星期要少卖出10件．
（Ⅰ）设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价多少元？
（Ⅲ）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一．选择题
1．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
2．解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，
∴当t＝5时有最大值36℃，
∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，
故选：D．
3．解：根据题意，得
OA＝12，OC＝4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣＝＝6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．
所以两排灯的水平距离最小是4．
故选：D．
4．解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵当x＝55，75，80时，y＝1800，1800，1550，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
故选：D．
5．解：设y1＝a+bt1，
把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，
，
解得：，
∴二次函数解析式为：y1＝2.5t12+2t1…①；
y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，
此时，t＝﹣＝13，
则：滑雪者在AB段用的时间为23﹣13＝10，
把t＝10代入①式，
解得：则AB＝y1＝270（米），
故选：A．
6．解：设B点的坐标为（x，0），
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣，
∴点B的横坐标为＝﹣，
∴x＝2，即B（2，0），
∴AO＝5
BO＝2．
∵△ACO∽△CBO，∴＝，
∴＝，
∴0C＝．
∴∠CAB的正切值＝．
故选：C．
7．解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
8．解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
9．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则，
解得：，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
故选：C．
10．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×6﹣（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，
∴当y＝0，则0＝﹣x2+x+，
解得：x1＝10，x2＝﹣2，
∴这名男生抛实心球的成绩为10m，
故答案为：10．
12．解：∵s＝30t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
13．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，
故答案为：y＝60（1﹣x）2．
14．解：设每箱涨价x元时（其中x为正整数），
每天可售出50箱，每箱涨价1元，日销售量将减少2箱，则每天的销量为50﹣2x，
则y与x之间的关系式为：y＝（50﹣2x）（10+x）＝﹣2x2+30x+500（x为正整数），
故答案为：y＝﹣2x2+30x+500．
15．解：如图所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．
∵y1＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C1与C2顶点相同，
∴＝1，﹣1+m+n＝4．
解得：m＝2，n＝3．
∴抛物线C2的解析式为y2＝﹣x2+2x+3．
∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x＝1，
∴BC⊥CM，BC＝2．
∵∠BMB′＝90°，
∴∠BMC+∠B′MD＝90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD＝90°．
∴∠MB′D＝∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，
，
∴△BCM≌△MDB′（AAS）．
∴BC＝MD，CM＝B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D＝CM＝4﹣a，MD＝CB＝2．
∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．
将点B′的坐标代入y2＝﹣x2+2x+3，
得﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝a﹣2．
整理得：a2﹣7a+10＝0．
解得a＝2，或a＝5．
当a＝2时，M的坐标为（1，2），
当a＝5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述，当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
故答案为：（1，2）或（1，5）．
三．解答题
16．解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
17．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝x米，
∴BC＝（40﹣2x）米，
∵墙长为22米，
∴0＜40﹣2x≤22，
∴9≤x＜20，
∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
即S＝﹣2x2+40x（9≤x＜20）；
（2）设矩形的面积为S
S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
由（1）知，9≤x＜20，
∴当x＝10时，S有最大值200，
即当AB为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
18．解：（Ⅰ）销售价每涨1元，每星期要少卖出10件，
∴每星期实际可卖出（300﹣10x）件，
y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000；
（Ⅱ）根据题意，得：﹣10x2+100x+6000＝6160，
整理，得：x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
答：若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价2元或8元；
（Ⅲ）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值6250，
答：每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是6250元．