青岛版数学九年级下册课件5.5确定二次函数的表达式（共28张PPT）

确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式
一、一般式：y=ax?+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式
解：由题意可得：
｛
4a+2b+c=1 ①
a+b+c=-2 ?
c=5 ?
解之得：
｛
a=5
b=-12
c=5
所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
练
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？
o
x
y
解：
设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解方程得：
a=2, b=-3, c=5
所以所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
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二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.
2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.
3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.
4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.
解：
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？
y
o
x
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。
解法1：（利用一般式）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0)
由题意知 16a+4b+c = -3
?????? -b/2a = 3
???? (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：?
a= -7
b= 42
c= -59
∴?二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59?
解法2：（利用顶点式）
∵? 当x=3时，有最大值4∴? 顶点坐标为(3,4)
设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4
∵? 函数图象过点（4，- 3）
∴? a(4 - 3)2 +4 = - 3
∴? a= -7
∴?二次函数的解析式为：
y= -7(x-3)2+4
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),　B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3
∴设二次函数表达式为 ? y=a(x-3)2+k
图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k
0=a(5-3)2+k
解得：a= 1 k=-4
∴?二次函数的表达式: y= (x-3)2-4
即 ? y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。
三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。
交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线 就是抛物线的对称轴.
1：已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴
又∵点（0，1）在图像上，

∴ a = -1
即：
∴
∴
∴
解：（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)
∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1)
∵ 函数图象过点(1,4)
∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1
∴ 函数的表达式为：
?y= -(x+1)(x-3)
= -x2+2x+3
2：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴? a+b+c=4?????? ①
??? a-b+c=0?????? ②
?? 9a+3b+c=0??? ? ③
? 解得： a= -1
b=2
c=3
?∴? 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵? 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴? 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4?
∵ 抛物线过点(-1, 0)
∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
3 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．
(-1, 0)
(3, 0)
X=1
由题意,得:
解:设图象与x轴的交点坐标为
( ,0),( ,0),
把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)
解得:a=1
∴y=x2-2x-3
四、用平移式求二次函数的解析式、
1.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法：将二次函数的解析式
转化为顶点式得：
(1)、由 向左平移4个单位得：
（左加右减）
（2）、再将 向下平移3个单位得
（上加下减）
即：所求的解析式为
一、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
二、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
2、顶点式
3、交点式
4、平移式
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二次函数关系:
y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=ax 2+bx+c (a≠0)
y=a(x-h)2 (a≠0)
顶点式
一般式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
交点式
三、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
2、求二次函数解析式的 常用思想：
3、二次函数解析式的最终形式：
待定系数法、配方法、数形结合等。
转化思想 : 解方程或方程组
无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。
活学活用 加深理解
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。
顶点坐标（1，1）设 y=a(x-1)2+1
2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。
顶点坐标（1，-8）设y=a(x-1)2-8
3.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。
顶点坐标（1，-4）设y=a(x-1)2-4
4.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，求函数的表达式。
顶点坐标（4，2）设y=a(x-4)2+2
2、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为
　　-1，求其解析式。
∴
解：设二次函数的解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。
又（0，0）在抛物线上，
∴ a = 1
即：
∴
∴
解：
设　y=a(x＋1)2-3
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴
交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
y
o
x
( 0,-5 )
-5=a-3
a=-2
y=－2(x＋1)2-3
即：y=-2x2—4x－5
练习
y=-2（x2 ＋ 2x ＋ 1）-3
所以设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1)
3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上
∴ a(0+1)(0-1)=1
解得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，

选择最优解法，求下列二次函数解析式：
1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为__________.
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物线解析式为____________.
3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2,3)，(-4,5)，设抛物线解析式为_________.
4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设抛物线解析式为________.
5、已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)、B(1,0)，且经过点(2,-3),设抛物线解析式为_______.
做一做
题组训练
1、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式.
2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。
4、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-1，0)， (3，0) ，（0, 3）。
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;
2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;
4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组,求待定系数;
6.写出函数的表达式;