2020-2021学年高中北师大版数学必修2章末检测卷：第一章 立体几何初步 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中北师大版数学必修2章末检测卷：第一章 立体几何初步 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 525.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-23 19:01:53 | ||
图片预览
文档简介
www.ks5u.com
第一章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
2．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
答案： D
3．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确，故选D.
答案：D
4．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：由题意可知该几何体是底面半径r＝1，母线l＝1的圆柱，故S侧＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案：C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.
答案：A
6．(2015·长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为( )
A. B.
C. D.
解析：底边长为1，高为××sin45°＝，∴S＝.
答案：D
7．一个锥形的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项C.
答案：C
8．(2016·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.
答案：B
9．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若mβ，且α⊥β，则m⊥α
D．若m⊥β，且α∥β，则m⊥α
解析：A中可能nα；B中m，n还可能相交或异面；C中m，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D正确．
答案：D
10．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3
C.cm3 D.cm3
解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．
答案：C
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．3π
C. D．2π
解析：
如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.
由于平面ABD⊥平面BCD，
所以AE⊥平面BCD.
因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，
所以AE＝，EO＝.
所以AO＝.
在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.
所以该球的体积V＝π3＝.
答案：A
12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角．在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角．设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝＝.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.
答案：
14．(2016·莱州高二期末)已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为________．
解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为＝3，即球半径为，V球＝πR3＝π.
答案：π
15．(2016·天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析：由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2.
答案：2
16．(2016·全国卷甲)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
解析：对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
答案：②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知一个几何体的三视图如图，试求它的表面积和体积．(单位：cm)
解析：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，且棱柱的某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，.所以此几何体的体积V＝S梯形·h＝×(1＋2)×1×1＝(cm3)．
表面积S表面＝2S底＋S侧＝×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝(7＋)(cm2)．
18．(12分)已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．
解析：如图，正三棱台ABC－A1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．
由已知可得A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，
则OD＝5 cm，O1D1＝ cm.
由其侧面积等于两底面面积的和可得
(60＋90)·DD1＝(202＋302)，
解得DD1＝(cm)．
在直角梯形O1ODD1中，
O1O＝
＝
＝4(cm)，
即棱台的高为4 cm.
19．(12分)(2016·常德高一检测)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC的中点，则PA∥DE，PA?平面DEF，DE?平面DEF，
因此PA∥平面DEF.
(2)在△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，
所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF，
又PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为EF∩AC＝E，
所以DE⊥平面ABC，DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
20．(12分)如图，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分别是AB，DF的中点．
(1)求该直三棱柱的体积与表面积；
(2)在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．
解析：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为×a×a×a＝a3，
表面积为a2×2＋a2＋a2＋a2＝(3＋)a2.
(2)当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
∵G是DF的中点，∴GH綊CD.
又M是AB的中点，AB綊CD，
∴AM綊CD.
∴GH∥AM且GH＝AM，
∴四边形GHMA是平行四边形，
∴GA∥MH.
∵MH平面FMC，GA平面FMC，
∴GA∥平面FMC，
即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
21．(12分)(2016·贵州省适应性考试)已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；
(2)求四面体A－BCD体积的最大值．
解析：(1)直线AB与CD能够垂直．
因为AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，
则有AB⊥平面ACD，
从而AB⊥AC.
此时，a＝＝＝，
即当a＝时，有AB⊥CD.
(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，
此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，
则有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高．
在△ABD中，AH＝＝，
S△BCD＝×3×4＝6，
此时VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即为该四面体体积的最大值．
22．(12分)(2016·济宁高一检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示．
(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；
(2)求二面角B－PA－C的大小．
解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点．ABCD是边长为4的正方形，且PA＝4.
(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，
所以∠FEG＝45°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，
所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又因为∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的大小为45°.
- 1 -
第一章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
2．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
答案： D
3．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确，故选D.
答案：D
4．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：由题意可知该几何体是底面半径r＝1，母线l＝1的圆柱，故S侧＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案：C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.
答案：A
6．(2015·长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为( )
A. B.
C. D.
解析：底边长为1，高为××sin45°＝，∴S＝.
答案：D
7．一个锥形的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项C.
答案：C
8．(2016·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.
答案：B
9．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若mβ，且α⊥β，则m⊥α
D．若m⊥β，且α∥β，则m⊥α
解析：A中可能nα；B中m，n还可能相交或异面；C中m，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D正确．
答案：D
10．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3
C.cm3 D.cm3
解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．
答案：C
11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．3π
C. D．2π
解析：
如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.
由于平面ABD⊥平面BCD，
所以AE⊥平面BCD.
因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，
所以AE＝，EO＝.
所以AO＝.
在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.
所以该球的体积V＝π3＝.
答案：A
12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角．在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角．设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝＝.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.
答案：
14．(2016·莱州高二期末)已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为________．
解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为＝3，即球半径为，V球＝πR3＝π.
答案：π
15．(2016·天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析：由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2.
答案：2
16．(2016·全国卷甲)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
解析：对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
答案：②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知一个几何体的三视图如图，试求它的表面积和体积．(单位：cm)
解析：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，且棱柱的某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，.所以此几何体的体积V＝S梯形·h＝×(1＋2)×1×1＝(cm3)．
表面积S表面＝2S底＋S侧＝×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝(7＋)(cm2)．
18．(12分)已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．
解析：如图，正三棱台ABC－A1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．
由已知可得A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，
则OD＝5 cm，O1D1＝ cm.
由其侧面积等于两底面面积的和可得
(60＋90)·DD1＝(202＋302)，
解得DD1＝(cm)．
在直角梯形O1ODD1中，
O1O＝
＝
＝4(cm)，
即棱台的高为4 cm.
19．(12分)(2016·常德高一检测)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC的中点，则PA∥DE，PA?平面DEF，DE?平面DEF，
因此PA∥平面DEF.
(2)在△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，
所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF，
又PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为EF∩AC＝E，
所以DE⊥平面ABC，DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
20．(12分)如图，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分别是AB，DF的中点．
(1)求该直三棱柱的体积与表面积；
(2)在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．
解析：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为×a×a×a＝a3，
表面积为a2×2＋a2＋a2＋a2＝(3＋)a2.
(2)当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
∵G是DF的中点，∴GH綊CD.
又M是AB的中点，AB綊CD，
∴AM綊CD.
∴GH∥AM且GH＝AM，
∴四边形GHMA是平行四边形，
∴GA∥MH.
∵MH平面FMC，GA平面FMC，
∴GA∥平面FMC，
即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
21．(12分)(2016·贵州省适应性考试)已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；
(2)求四面体A－BCD体积的最大值．
解析：(1)直线AB与CD能够垂直．
因为AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，
则有AB⊥平面ACD，
从而AB⊥AC.
此时，a＝＝＝，
即当a＝时，有AB⊥CD.
(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，
此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，
则有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高．
在△ABD中，AH＝＝，
S△BCD＝×3×4＝6，
此时VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即为该四面体体积的最大值．
22．(12分)(2016·济宁高一检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示．
(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；
(2)求二面角B－PA－C的大小．
解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点．ABCD是边长为4的正方形，且PA＝4.
(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，
所以∠FEG＝45°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，
所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又因为∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的大小为45°.
- 1 -