2020-2021学年高一数学人教A版必修1学案：1.2.1 第2课时　函数的定义域与值域 Word版含解析

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第2课时　函数的定义域与值域
[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．
[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．
[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.
知识点一　　函数相等
[填一填]
1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．
2．结论：两个函数相等．
[答一答]
1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？
提示：观察下表：
函数 定义域 对应关系 值域
f1(x)＝x R x→x R
f2(x)＝2x R x→2x R
f3(x)＝x2 [0,2] x→x2 [0,4]
f4(x)＝x2 [－1,2] x→x2 [0,4]
对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；
对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．
知识点二　　函数的定义域
[填一填]
函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．
2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合．
3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合．
4．零(负)指数幂的底数不能为零．
5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．
6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
[答一答]
2．函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为(　D　)
A．{x|x≥1}
B．{x|x>1}
C．{x|1≤x<2或x>2}
D．{x|12}
解析：　要使函数有意义，则只需
解得12，
所以函数的定义域为{x|12}．故选D.
知识点三　　函数的值域
[填一填]
求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：
一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．
[答一答]
3．已知函数y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函数y＝x2的值域是什么？
提示：当x＝0时，y＝0；当x＝±1时，y＝1；当x＝2时，y＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．
类型一　　函数相等的判断
[例1]　下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)．
[答案]　③⑤
[解析]　①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应法则不同，f(x)＝，g(x)＝.③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应法则都相同．
讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.
[变式训练1]　下列各组中两个函数是否表示相等函数？
(1)f(x)＝6x，g(x)＝6；
(2)f(x)＝，g(x)＝x＋3；
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
解：(1)g(x)＝6＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．
(2)f(x)＝＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数．
(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．
类型二　　函数的定义域
命题视角1：求具体函数的定义域
[例2]　求下列函数的定义域，结果用区间表示：
(1)y＝＋；(2)y＝ .
[解]　(1)要使函数有意义，
则有?
故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，必须满足解得
故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．
求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.
[变式训练2]　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；(2)y＝.
解析：(1)由已知得
解得x≤1且x≠－5.
所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．
(2)由已知得解得x≤1且x≠0.
所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．
命题视角2：求抽象函数的定义域
[例3]　(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
[分析]　在对应关系相同的情况下， f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．
[解]　(1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，
即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.
∴f(2x＋1)的定义域是.
(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，
即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.
∴f(x)的定义域是[－1,9]．
因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域.
[变式训练3]　若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　B　)
A．[0,1]　　　　　　　　 B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．
类型三　　求函数的值域
[例4]　求下列函数的值域．
(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(4)y＝.
[解]　(1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6，
∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．
(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.
∴所求函数的值域为[2,11)．
(4)y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠，
∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠}．
根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.
[变式训练4]　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；
(2)y＝；
(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．
解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，
∴y∈{1,3,7,9}．
(2)∵y＝＝＝1－，
且≠0，
∴函数y＝的值域为{y|y≠1}．
(3)配方，得y＝(x－2)2－4.
∵x∈[1,4]，
∴函数的值域为[－4,0].
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　A　)
A．[－1,2)∪(2，＋∞)　　 B．(－1，＋∞)
C．[－1,2) D．[－1，＋∞)
解析：由 解得x≥－1且x≠2.故选A.
2．函数f(x)＝x2＋1(0A．{x|x≥1} B．{x|x>1}
C．{2,3} D．{2,5}
解析：∵0∴x＝1或x＝2.
∴f(1)＝2，f(2)＝5，
故函数的值域为{2,5}．
3．若函数f(x)与g(x)＝是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．
解析：∵2－≠0，∴x≠6，
又x－2≥0，∴x≥2，
∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．
故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．
4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1解析：因为f(x)的定义域为{x|－1所以－1<2x＋1<1，
解得－15．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)y＝；
(3)y＝x－.
解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－)2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．
——本课须掌握的三大问题
1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．
2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．
3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．
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