第二章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设＝a，＝b，则＝( A )
A.a－b
B.a＋b
C．a－b
D．a＋b
解析：＝＋＝－b＋a，故选A.
2．已知下列四个等式：
①＋＝0；②＋＝；③－＝；④0·＝0.其中正确的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为＋＝－＝0，＋＝，－＝－(＋)＝－，0·＝0，所以正确的等式有①②④，故选C.
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝( A )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由a∥b得3cosα－4sinα＝0.即4sinα＝3cosα，∴tanα＝.
4．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( C )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：由＝，可知对边AB、DC平行但不相等，又||＝||，所以四边形为等腰梯形．
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)等于( A )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵M为BC中点，∴＋＝2＝，∴·(＋)＝·＝－||2＝－2＝－.
6．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( C )
A.
B.
C．5
D．25
解析：∵a＝(2,1)，∴|a|＝.又∵|a＋b|＝5，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，∴(5)2＝()2＋|b|2＋2×10，
∴|b|2＝25，∴|b|＝5.
7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故选C.
8．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ等于( C )
A.
B.
C.
D.
解析：因为a2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝9＋1－2×3×1×＝8，a·b＝9＋2－9×1×1×＝8，
所以cosβ＝＝.
9．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝( D )
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶2
D．2∶1
解析：由＝＋，得(－)＝(－)，即＝，所以||＝2||，故||∶||＝2∶1.
10．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( A )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
解析：由·＝0，知∠BAC的角平分线与BC垂直，∴AB＝AC.又·＝，
∴cos∠BAC＝，∠BAC为△ABC的一个内角，则∠BAC＝.∴△ABC为等边三角形．
11．如图，过点M(1,0)的直线与函数y＝sinπx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点，则·(＋)等于( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设N(2,0)，由题意知＋＝，∴·(＋)＝·＝(1,0)·(2,0)＝2.
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点(靠近点B)，则·的取值范围为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：易知θ∈(0，π)，所以cosθ∈(－1,1)，则·＝(＋)·＝·＋2＝·(－)＋2＝·－4＋2＝2×3×cosθ－4＋×(9＋4－2×2×3×cosθ)＝∈(－，)．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为90°.
解析：由＝(＋)可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即∠BAC＝90°，故与的夹角为90°.
14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝4.
解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以存在λ、μ∈R，使－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，所以λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
15．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为.
解析：作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以·＝·＝＋＝.
16．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD＝DC＝2，AB＝3，点M是△ABC内(包括边界)的一个动点，点N是CD边的中点，则·的最大值是6.
解析：以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，D(0,2)，因此CD中点N的坐标为(1,2)，直线BC的方程为y＝－2x＋6.要使·最大，则M在BC上，设M(λ，－2λ＋6)(2≤λ≤3)．则＝(λ，－2λ＋6)，＝(1,2)，∴·＝λ＋2(－2λ＋6)＝12－3λ，∵2≤λ≤3，∴当λ＝2时，·取得最大值6.
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)在平行四边形ABCD中，如图，E、F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和.
解：＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b，＝＋＝－＋＝－a＋(a＋b)＝－a＋b.
18．(本小题12分)已知A(－1,2)，B(2,8)．
(1)若＝，＝－，求的坐标；
(2)设G(0,5)，若⊥，∥，求E点坐标．
解：(1)∵＝(3,6)，∴＝＝(1,2)，＝－＝(－2，－4)，∴＝－＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．
(2)设E(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，＝(x－2，y－8)，∵＝(－2，－3)，⊥，∥，∴
解得∴E点坐标为.
19.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4,0)，C(1，)．
(1)求∠ABC的大小；
(2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)，求·的取值范围．
解：(1)由题意得＝(4,0)，＝(1，)．
∵四边形OABC是平行四边形，∴cos∠ABC＝cos∠AOC＝＝＝，∴∠ABC＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，则＝(t，)．∵＝(2,0)－(1，)＝(1，－)，∴·＝(t，)·(1，－)＝t－3，
故·的取值范围是[－2,2]．
20．(本小题12分)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°.
(1)求a＋b与a的夹角的余弦值；
(2)当|a＋tb|取得最小值时，试判断a＋tb与b的位置关系，并说明理由．
解：(1)设a＋b与a的夹角为θ.由已知得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1，|a＋b|＝＝＝，
于是cosθ＝＝＝.
(2)(a＋tb)⊥b.理由如下：|a＋tb|＝＝，当且仅当t＝－时，|a＋tb|取得最小值，此时(a＋tb)·b＝a·b－b2＝1－1＝0，所以(a＋tb)⊥b.
21．(本小题12分)在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0.由＝2，得＝，＝＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2＝36－·－18＝18－·，又·＝6，所以18－·＝6，所以·＝36.又·＝||·||cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，
即cosθ＝.所以与夹角的余弦值为.
22．(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量OB的坐标；
(2)若a⊥，求y＝cos2θ－cosθ＋2的最小值．
解：(1)因为＝(cosθ－1，t)，且a∥，所以cosθ－1＝2t.①又因为||＝||，所以(cosθ－1)2＋t2＝5.②
由①②得，5t2＝5，所以t2＝1，所以t＝±1.
当t＝1时，cosθ＝3(舍去)；当t＝－1时，cosθ＝－1.故B(－1，－1)，所以＝(－1，－1)．
(2)由a⊥可知t＝2－2cosθ，所以y＝cos2θ－cosθ＋＝cos2θ－cosθ＋＝＋＝2－，所以当cosθ＝时，y取得最小值－.第二章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设＝a，＝b，则＝( )
A.a－b
B.a＋b
C．a－b
D．a＋b
2．已知下列四个等式：
①＋＝0；②＋＝；③－＝；④0·＝0.其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝( )
A.
B．－
C.
D．－
4．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－
B．－
C.
D.
6．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A.
B.
C．5
D．25
7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
8．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ等于( )
A.
B.
C.
D.
9．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝( )
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶2
D．2∶1
10．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
11．如图，过点M(1,0)的直线与函数y＝sinπx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点，则·(＋)等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点(靠近点B)，则·的取值范围为( D )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为（
）.
14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝（
）.
15．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为（
）..
16．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD＝DC＝2，AB＝3，点M是△ABC内(包括边界)的一个动点，点N是CD边的中点，则·的最大值是（
）..
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)在平行四边形ABCD中，如图，E、F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和.
18．(本小题12分)已知A(－1,2)，B(2,8)．
(1)若＝，＝－，求的坐标；
(2)设G(0,5)，若⊥，∥，求E点坐标．
19.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4,0)，C(1，)．
(1)求∠ABC的大小；
(2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)，求·的取值范围．
20．(本小题12分)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°.
(1)求a＋b与a的夹角的余弦值；
(2)当|a＋tb|取得最小值时，试判断a＋tb与b的位置关系，并说明理由．
21．(本小题12分)在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
22．(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量OB的坐标；
(2)若a⊥，求y＝cos2θ－cosθ＋2的最小值．
