第二章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．k<－3或3B．－3C．k<－3或k>4
D．－34
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C.
D．(0,1)
3．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
4．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
5．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为10，则P点坐标为( )
A．(9,6)
B．(9，±6)
C．(6,9)
D．(6，±9)
6．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
7．抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )
A．3
B．2
C．2
D.
8．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2
B．2
C．8
D．2
9．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．过点P(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
11．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.
D.
12．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
14．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________.
15．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
16．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
18．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
19.(12分)如图，已知抛物线C1：x2＋by＝b2经过椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的两个焦点．
(1)求椭圆C2的离心率；
(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程．
20．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
21.(12分)(2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
22．(12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．第二章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．k<－3或3B．－3C．k<－3或k>4
D．－34
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C.
D．(0,1)
3．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
4．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
5．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为10，则P点坐标为( )
A．(9,6)
B．(9，±6)
C．(6,9)
D．(6，±9)
6．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
7．抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )
A．3
B．2
C．2
D.
8．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2
B．2
C．8
D．2
9．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．过点P(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
11．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.
D.
12．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案
1．D 若方程表示双曲线，
则或
解得－34，故选D.
2．D 将椭圆方程变为＋＝1，由题意，得>2，解得03．D 椭圆的顶点和焦点分别是－＝－1的焦点和顶点，∴椭圆的长半轴长为4，半焦距为2，且焦点在y轴上，故所求方程为＋＝1.
4．C 当双曲线的顶点为(±4,0)时，a＝4，由e＝2知，c＝8，b＝4，双曲线的方程为－＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a＝3，由e＝2知，c＝6，b＝3，双曲线的方程为－＝1，故选C.
5．B 抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线为x＝－1.
∵P到F的距离为10，设P为(x，y)，
∴x＋1＝10，∴x＝9.又P在抛物线上，
∴y2＝36，y＝±6，∴P点坐标为(9，±6)．
6．C 双曲线－y2＝1的一个顶点为(2,0)，一条渐近线为x＋2y＝0，故由双曲线的对称性知顶点到渐近线的距离d＝＝＝，选C.
7．A 由题意知，抛物线的准线为x＝3，双曲线的渐近线为y＝±x，因此求得三角形面积为3，故选A.
8．B 根据已知条件得c＝，则点M在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1，可得m＝2.
9．B 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c＝1.∵O为坐标原点，△AOB的面积为，∴××1＝，∴＝＝，整理，得2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－(舍)，∴e＝＝.故选B.
10．D 因为Q与P(x，y)关于y轴对称，所以Q(－x，y)，由＝2，得A，B(0,3y)所以＝.从而由·＝(－x，y)·＝1，得x2＋3y2＝1，其中x>0，y>0，故选D.
11．C 设弦端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴x－x＝－2(y－y)，∴此弦的斜率k＝＝－＝－，∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋.代入x2＋2y2＝4，整理，得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝，x1＋x2＝2，∴|AB|＝·＝·＝.
12．A 设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.
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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
14．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________.
15．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
16．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
18．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
答案
13.＋y2＝1
解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝.因为c＝1，所以a＝.所以b＝＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
14．3
解析：记|AF|＝a，|BF|＝b，准线为l，
分别过A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，
则|AA1|＝|AF|＝a，|BB1|＝|BF|＝b，
再过B作BM⊥AA1于M.
在Rt△BMA中，∠ABM＝30°，AM＝a－b，AB＝a＋b，于是a＋b＝2(a－b)，a＝3b，故所求为3.
15.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1.②
①、②两式相减并整理得＝－·.
把已知条件代入上式得，－＝－×，
∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.
16.
解析：如图，设双曲线的右焦点为F1，连接OE，PF1.
∵O为FF1的中点，E为PF的中点，
∴OE∥PF1且|OE|＝|PF1|，∴|PF1|＝2|OE|＝a.
∵|PF|－|PF1|＝2a，∴|PF|＝3a.
又OE⊥FP，∴FP⊥PF1，
∴(3a)2＋a2＝4c2，故e＝.
17．解：(1)当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．∵离心率e＝，∴＝.
又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，
∴a2＝9，b2＝1.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．同理可得a＝3b.
又∵椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，
∴b2＝9，a2＝81.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
18．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把点(4，－)代入双曲线的方程得42－(－)2
＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线的方程为x2－y2＝6.
∴c＝2，不妨令F1(－2，0)、F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
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19.(12分)如图，已知抛物线C1：x2＋by＝b2经过椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的两个焦点．
(1)求椭圆C2的离心率；
(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程．
20．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
答案
19.解：(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，所以c2＋b×0＝b2，即c2＝b2.
由a2＝b2＋c2＝2c2，得椭圆C2的离心率e＝.
(2)由(1)可知a2＝2b2，则椭圆C2的方程为
＋＝1.
联立抛物线C1的方程x2＋by＝b2得
2y2－by－b2＝0，解得y＝－或y＝b(舍去)，所以x＝±b，
即M，N.
所以△QMN的重心坐标为(1,0)．
因为重心在抛物线C1上，所以12＋b×0＝b2，
得b＝1.所以a2＝2.
所以抛物线C1的方程为x2＋y＝1，
椭圆C2的方程为＋y2＝1.
20．解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a，①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.
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21.(12分)(2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
22．(12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
答案
21.解：(1)由已知，a＝2b.
又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(，)，故＋＝1，解得b2＝1，
所以椭圆E的方程是＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0， ①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，得2－m2>0，解得－由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以M点的坐标为(－m，)，直线OM的方程为y＝－x，由方程组得C(－，)，D(，－)或C(，－)，D(－，)．
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)，
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
22．解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>时，x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
