华东师大版九年级下册数学 27.4正多边形和圆 同步练习（Word版 含解析）

27.4正多边形和圆
同步练习
一．选择题
1．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（　　）
A．
B．2cm
C．2cm
D．4cm
2．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2）
D．（﹣1，）
4．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（　　）
A．S1＝S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．S1＞S2
5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．15
6．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（　　）
A．4
B．
C．
D．
7．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）
A．108°
B．118°
C．144°
D．120°
8．下列圆的内接正多边形中，中心角最大的图形是（　　）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（　　）
A．AE∥BF
B．AF∥CD
C．DF＝AF
D．AB＝BF
10．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二．填空题
11．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是　
　．
12．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝　
　．（π取3.14，结果精确到0.01）
13．如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝　
　．
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于　
　．
15．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝　
　．
三．解答题
16．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
17．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB＝2，求四边形PQMN的面积．
18．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB，
（1）设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　
　；
（2）△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：如图所示，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝∠BOC＝×60°＝30°，
∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝BC＝×2＝1cm，
∴OB＝＝2cm，
∴OG＝＝＝，
∴圆形纸片的半径为cm，
故选：A．
2．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1，
∴OG＝，
∴S△AOB＝AB?OG
＝2×
＝．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．
故选：C．
3．解：连接OF．
∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4．
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2．
∴F（﹣2，2）．
故选：C．
4．解：由题意：的长度＝24，
∴S2＝×24×6＝72＝18×4＝18，
∵S1＝×6×3×6＝54＝18×3＝18，
∴S1＞S2，
故选：D．
5．解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n＝＝12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
6．解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，
∴OH＝FH＝2，
故选：C．
7．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
8．解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选：A．
9．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，
∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠EAB+∠ABD＝180°，
∴AE∥BF，故本选项不符合题意；
B、∵∠F＝∠CDB＝36°，
∴AF∥CD，故本选项不符合题意；
C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，
∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，
∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，
∴AD＝AF，
∴FH＝DH，
当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，
此时DF＝AF，
∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；
D、连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵FA切⊙O于A，
∴∠OAF＝90°，
∴∠FAB＝90°﹣54°＝36°，
∵∠ABD＝72°，
∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠FAB，
∴AB＝BF，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝，
∴AO⊥BE，故①正确；
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°
∴∠COD＝72°
∵∠COD＝2∠CAD
∴∠CAD＝36°；
连接CD
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝＝＝，
∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，
∴∠CGD＝108°，
∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；
连接AB，AE，
则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，
∵AB＝AE，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM＝EN＝AM＝AN，
∵∠MAN＝36°，
∴AM≠MN，③错误．
故选：A．
二．填空题
11．解：如图1，
∵OC＝2，
∴OD＝OC＝1；
如图2，
∵OB＝2，
∴OE＝BE，
∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，
∴OE＝；
如图3，
∵OA＝2，
∴AD＝OA＝1，
∴OD＝＝，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2＝（）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：×1×＝，
故答案为：A．
12．解：∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝π，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S﹣S1＝π﹣3≈0.14，
故答案为：0.14．
13．解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：
∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，
∴图形是轴对称图形，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，
∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，
∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，
故答案为：108°．
14．解：如图，连接CF、HD、HE，过H作直线PQ⊥AB，
由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，
由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD，
∴点C和点D，点E和点B关于直线OG对称，
∴DH＝CH，BH＝EH，
∵DE＝BC，
∴△BCH≌△EDH（SSS），
∴PK＝KQ＝OG＝2OH，
又因为∠HOK＝∠COG＝30°，KH＝OH，
令KH＝1，
∴OH＝2，OG＝4，
∴PK＝4，
∴PH＝PK+KH＝5，HQ＝KQ﹣KH＝3，
∴S△HCB：S△HBA＝PH：HQ＝3：5．
故答案为：3：5．
15．解：连结OA，OD，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ＝PR＝QR，
∴∠POQ＝×360°＝120°，
∵BC∥QR，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，
∴＝，
∴∠AOP＝∠DOP，
∴∠AOP＝×90°＝45°，
∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠QOB＝15°，
故答案为：15°．
三．解答题
16．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
17．解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA＝HG，
∴∠1＝22.5°，
从而∠2＝135°﹣∠1＝112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3＝180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA＝∠PAH＝45°，
∴∠P＝90°，同理可得∠Q＝∠M＝90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA＝∠PAH＝∠QBC＝∠QCB＝∠MDE＝∠MED＝45°，AH＝BC＝DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA＝QB＝QC＝MD．即PQ＝QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH＝45°，AB＝2，
∴，
∴．
故．
18．解：（1）S2＝2S1，如右图所示，连接OD、OF、OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴△BDF是正三角形，
∴△ABF、△BDC、△DEF、△DOF、△BOF、△BOD都是全等的，
∴S2＝2S1；
（2）旋转中心是O，最小旋转角是120°，
由于正n边形关于对称中心O旋转与自身重合，而通过观察可知△ABF必须逆时针旋转才可以与△CBD重合，
故旋转的角度＝＝120°．