选修1—1 模块综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列四个命题，其中为真命题的是( )
A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”
B．若命题p：所有幂函数的图像不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题“p且q”为真
C．若命题p：任意x∈R，x2－2x＋3>0，则綈p：存在x∈R，x2－2x＋3<0
D．若a>b，则an>bn(n∈N＋)
2．若α∈R，则“α＝0”是“sinα
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：“sin2
014°014°”，命题q：“在等比数列{an}中，‘a1A．綈p或q
B．p且q
C．綈p且綈q
D．p或綈q
4．若曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A.
B．－
C.
D.或0
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．已知过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长分别是p，q，则＋等于( )
A．2a
B.
C．4a
D.
7．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．对任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增加的
B．对任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减少的
C．存在a∈R，f(x)是偶函数
D．存在a∈R，f(x)是奇函数
8．已知过点(0，－1)的直线l与两条曲线y＝lnx和x2＝2py(p>0)均相切，则p的值为( )
A.
B.
C．2
D．4
9．设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图像可能为( )
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D.设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则＝( )
A.
B.
C．1
D．2
11．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
12.设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则aC．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．命题“对任意x∈R，有x2＋1≥2x”的否定是________．
14．已知椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，则实数t＝________.
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)内是减少的，则k的取值范围是________．
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知p：5x2－4x－1>0，q：函数y＝log(x2＋4x－5)有意义，试判断非p是非q的什么条件．
18．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，且准线与y轴的距离为2.
(1)求此抛物线的方程；
(2)点P为抛物线上一点，且其纵坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离．
19.(12分)甲、乙两地相距400
km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100
km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋4x＋b，其中a，b∈R且a≠0.
(1)求证：函数f(x)在点(0，f(0))处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．
21.(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2＝－4x的焦点，离心率是双曲线x2－y2＝4离心率的倒数．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，当点G的横坐标为－时，求直线l的方程．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．选修1—1 模块综合测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列四个命题，其中为真命题的是( )
A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”
B．若命题p：所有幂函数的图像不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题“p且q”为真
C．若命题p：任意x∈R，x2－2x＋3>0，则綈p：存在x∈R，x2－2x＋3<0
D．若a>b，则an>bn(n∈N＋)
2．若α∈R，则“α＝0”是“sinαA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：“sin2
014°014°”，命题q：“在等比数列{an}中，‘a1A．綈p或q
B．p且q
C．綈p且綈q
D．p或綈q
4．若曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A.
B．－
C.
D.或0
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．已知过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长分别是p，q，则＋等于( )
A．2a
B.
C．4a
D.
7．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．对任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增加的
B．对任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减少的
C．存在a∈R，f(x)是偶函数
D．存在a∈R，f(x)是奇函数
8．已知过点(0，－1)的直线l与两条曲线y＝lnx和x2＝2py(p>0)均相切，则p的值为( )
A.
B.
C．2
D．4
9．设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图像可能为( )
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D.设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则＝( )
A.
B.
C．1
D．2
11．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案
1．B A：命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2且x≠－2，则x2≠4”；B：y＝xn?x>0，y>0，所以命题p为真，由抛物线的定义知命题q为真?“p且q”为真；C：綈p：存在x∈R，x2－2x＋3≤0；D：0>a>b
?/a2k>b2k(k∈N＋)．
2．A 当α＝0时，sinα可取等值，所以“α＝0”是“sinα3．A
4．A 因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′＝2x，y′＝－3x2，所以(2x)·(－3x2)＝－1，即x＝.
5．C 由条件得2r＝|F1F2|＝2c，即r＝c，而r＝|OP|＝5，渐近线为y＝±x，P(3,4)在y＝x上，所以，得所以双曲线方程为－＝1.
6．C 将抛物线方程化为标准形式得x2＝y，取特例：当PQ为通径时，则|PF|＝p＝，|FQ|＝q＝，则＋＝4a，所以选C.
7．C f′(x)＝2x－，故只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上才是增加的，因此A，B不对．当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，因此C对，D不对．
8．C 设直线l与曲线y＝lnx相切于点(a，lna)，由切线过点(0，－1)，得到切线的斜率k＝.又y′＝，所以切线斜率k＝f′(a)＝，所以＝，解得a＝1，所以直线l的方程为y＋1＝x－0，即y＝x－1.把y＝x－1代入x2＝2py，得x2－2px＋2p＝0.由题意得Δ＝(－2p)2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)．故p＝2.
9．C 因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；当x∈(0，π)时，函数值为正实数，排除B；当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.
10．B 由题意可得直线AB：y＝k1(x－2)，即x＝＋2，代入抛物线方程y2＝4x整理得y2－－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－8.设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则由AC，BD过抛物线的焦点可得y1y3＝－4＝y2y4，即y3＝，y4＝，所以k2＝＝＝－＝＝2k1，所以＝.
11．C 依题意，设P(－c，y0)(y0>0)，
则＋＝1，
所以y0＝，所以P，
又A(a,0)，B(0，b)，AB∥OP，
所以kAB＝kOP，即＝＝，
所以b＝c.
设该椭圆的离心率为e，则e2＝＝＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
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12.设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则aC．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．命题“对任意x∈R，有x2＋1≥2x”的否定是________．
14．已知椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，则实数t＝________.
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)内是减少的，则k的取值范围是________．
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知p：5x2－4x－1>0，q：函数y＝log(x2＋4x－5)有意义，试判断非p是非q的什么条件．
18．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，且准线与y轴的距离为2.
(1)求此抛物线的方程；
(2)点P为抛物线上一点，且其纵坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离．
答案
12．A 若ea＋2a＝eb＋3b，必有ea＋2a>eb＋2b.构造函数f(x)＝ex＋2x，则f′(x)＝ex＋2>0恒成立，故有函数f(x)＝ex＋2x，在x>0上是增加的，即a>b成立．其余选项用同样方法排除．
13．存在x∈R，使得x2＋1<2x
解析：此命题是全称命题，它的否定是特称命题．
14．2或3
解析：根据题意，a2＝5t，b2＝t2，c2＝a2－b2，
因为椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，
所以5t－t2＝6，所以t2－5t＋6＝0，所以t＝2或3.
15．k≤
解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意，知或解得k≤.
16．0
解析：因为＋＋＝0，所以F为△ABC的重心．设A，B，C，因为F(，0)，则＝0，即y1＋y2＋y3＝0，又因为＝＝，同理得＝，＝，故＋＋＝(2y1＋2y2＋2y3)＝0.
17．解：由5x2－4x－1>0，得x<－或x>1，
即p：x<－或x>1，所以非p：－≤x≤1.
函数y＝log(x2＋4x－5)有意义，则x2＋4x－5>0，解得x<－5或x>1.
即q：x<－5或x>1，所以非q：－5≤x≤1.所以非p是非q的充分不必要条件．
18．解：(1)因为抛物线准线与y轴的距离为2，
所以p＝4，抛物线的方程为y2＝8x.
(2)设P(x0,2)，则8＝8x0，所以x0＝1，
所以点P到抛物线焦点的距离为x0＋＝3.
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19.(12分)甲、乙两地相距400
km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100
km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋4x＋b，其中a，b∈R且a≠0.
(1)求证：函数f(x)在点(0，f(0))处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．
答案
19．解：(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6
000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，
所以当v＝80
km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元．
20．解：(1)证明：由已知可得f′(x)＝x2＋2ax＋4.
∴f′(0)＝4.又f(0)＝b，
∴f(x)在x＝0处的切线方程为y＝4x＋b.
令x3＋ax2＋4x＋b＝4x＋b，整理得(x＋3a)x2＝0.
∴x＝0或x＝－3a.又a≠0，∴－3a≠0，
∴函数f(x)在点(0，f(0))处的切线与f(x)总有两个不同的公共点．
(2)∵f(x)在(－1,1)上有且仅有一个极值点，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋4在(－1,1)内有且仅有一个异号零点．
结合二次函数的图像可得f′(－1)f′(1)<0，
即(5－2a)(5＋2a)<0，解得a>或a<－.
故a的取值范围是∪.
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21.(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2＝－4x的焦点，离心率是双曲线x2－y2＝4离心率的倒数．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，当点G的横坐标为－时，求直线l的方程．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
答案
21.解：(1)由已知，得该椭圆的一个焦点坐标是F(－1,0)，即c＝1，双曲线x2－y2＝4的离心率为，故椭圆的离心率为，即e＝＝，故a＝，从而b＝1，
所以椭圆的标准方程是＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根．
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－.
故x0＝＝－，
y0＝k(x0＋1)＝.
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋
＝－＝－，解得k＝±，
故直线l的方程为y＝±(x＋1)．
22．解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．
(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
②若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，
ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)单调递增，在(ln(－2a)，1)单调递减．
③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)单调递增，在(1，ln(－2a))单调递减．
(2)(ⅰ)设a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a(b2－b)>0，
所以f(x)有两个零点．
(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．
(ⅲ)设a<0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)单调递增，又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；若a<－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)单调递增，又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．