人教版七年级数学上册知识讲义-4.2 线段的比较与中点（含答案）

初中数学
线段的比较与中点
精讲精练
1.
线段的比较
（1）叠合法（图形的比较），把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系。
（2）度量法（数量的比较），用刻度尺测量出线段的长度（单位相同），再根据长度的大小判断线段的长短关系。
2.
线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如图所示，如果M是线段AB的中点，则有AM=BM=AB。
3.
等分线段
（1）把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点，如图，M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB。
（2）把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点，如图，M、N、P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB。
4.
线段的性质
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
例题1
平原上有A、E、C、D四个村庄，如图所示，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。
思路分析：由“两点之间，线段最短”可知，到A、D两点的距离之和最小的点在线段AD上，到E、C两点的距离之和最小的点在线段EC上，所以AD、CE的公共点就是到四点的距离之和最小的点。
答案：
例题2
（1）如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.你知道小明是怎样求出来的吗？
（2）小明在反思过程中突发奇想：当点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？
思路分析：（1）把线段CD看成OC+OD，把线段AB看成OA+OB，再根据线段的中点定义可知OC=OA，OD=OB，可得CD=AB。
（2）与（1）的思路类似，只不过（1）中把CD看成OC+OD，而（2）中把CD看成OC-OD。
答案：（1）因为点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA，OB的中点，
所以OC=OA，OD=OB。
因为OA+OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。
（2）当点O运动到线段AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”仍然成立。
因为C、D分别是线段OA、OB的中点，所以OC=OA，OD=OB。
因为CD=OC-OD，所以OC=OA-OB=（OA-OB）。
因为OA-OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。
例题3
在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点共线，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆车去上学。由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？
思路分析：车的停靠点有5种可能情况，①停靠点设在A住宅区；②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间；③停靠点设在B住宅区；④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间；⑤停靠点设在C住宅区。要求出符合要求的停靠点的位置，我们需要分情况讨论。
答案：①停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为220米；
②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于220米；
③停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为160米；
④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于260米；
⑤停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为260米。
综上所述，停靠点应设在B住宅区。
分类讨论法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
同步练习
（答题时间：20分钟）
1.
如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米。为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）
A.
点A
B.
点B
C.
A，B之间
D.
B，C之间
2.
线段AB=5cm，BC=4cm，那么A、C两点的距离是（　　）
A.
1cm
B.
9cm
C.
1cm或9cm
D.
以上答案都不对
3.
D点在线段EF上，在等式①DE=DF，②DE=EF，③EF=2DF，④DF=DE中，能表示D点是线段EF的中点的有（　　）个
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4.
景区大楼AB段上有四处居民小区A，B，C，D，且有AC=CD=DB，为改善居民购物的环境，要在AB路建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以确定超市的位置，如果由你出任超市负责人，以便民、获利的角度考虑，你将把超市建在哪儿？
5.
如图，已知定长线段AD=m，B、C为线段AD上的两个动点，B在C点的左侧，当B、C运动到某一位置时，AC+BD=11，AB+CD=5，求AD的长。
6.
如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小。
答案
1.
A
解析：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100-m）+10（300-m）=4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200-n）=5000+35n＞4500。
∴该停靠点的位置应设在点A，故选A。
2.
D
解析：（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论。①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=5+4=9cm；②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=5-4=1cm，所以A、C两点间的距离是9cm或1cm。
（2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，故选D。
3.
B
解析：假设点D是线段EF的中点，则DE=DF，故①正确；
当DE=EF时，DE=2DF，故此时点D不是线段EF的中点；
当EF=2DF时，因为EF=DE+DF，所以，DE=DF，故此时点D是EF的中点。
当DE=DF时，点D才是EF的中点，所以当DF=DE时，D不是线段EF的中点。
综上所述，在①③条件下点D是EF的中点，故选B。
4.
建在线段CD上的任意一点。
解析：在线段CD上任取一点M，在线段AC上任取一点N，
∵AC=CD=BD，
∴当超市的位置在M点时，各居民区到超市的路程和=AM+CM+DM+BM=AB+CD=4CD，
当超市的位置在N点时，各居民区到超市的路程和=AN+CN+DN+BN=AB+CD+2CN=4CD+
2CN，
∵4CD＜4CD+2CN，
∴以便民、获利的角度考虑，将把超市的位置建在线段CD上的任意一点。
5.
8
解析：∵AC+BD=AD+BC=11，AB+CD=5，
∴AD+BC+AB+CD=16，
∴2AD=16，
∴AD=8。
6.
解析：∵两点之间线段最短，
∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，
∴连接MN，MN与a的交点O即为所求。