模块综合评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若p，q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
2．设命题甲：0
A．乙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．乙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．乙是甲的充要条件
D．乙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3．“若b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”，其否命题是( )
A．若b2－4ac>0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
B．若b2－4ac>0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
C．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
D．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
4．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，
B．－，
C．－3,2
D．2,2
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．已知命题p：抛物线y2＝ax的焦点是，命题q：若椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆焦点坐标为(－2，0)，(2,0)，以下说法正确的是( )
A．“p或q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．“非p”是真命题
D．以上都不对
7．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量能作为平面AEF的一个法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( )
A．{}
B．{α|≤α≤}
C．{α|≤α≤}
D．{α|≤α≤}
10．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
11．如图，正方形A1BCD折成直二面角A?BD?C，则二面角A?CD?B的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1,0)．若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝( D )
A．2
B．2
C．2
D．4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．若双曲线的一个焦点为(0，－13)且离心率为，则其标准方程为(
)
14．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(
)
15．在三棱锥P?ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC夹角的正弦值是(
).
16.如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.则椭圆的标准方程为(
)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
18．(本小题12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3.
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的点，且△ABP的面积为9，求点P的坐标．
19.(本小题12分)在如图直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(2)求异面直线AC1与B1C夹角的余弦值．
20．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时||的值是多少？
21．(本小题12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图(1))．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B为直二面角，连接PE，PF，A1B，A1P，A1F(如图(2))．
(1)求证：A1E⊥平面BEP；
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
(3)求二面角B?A1P?F的余弦值．
22．(本小题12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别是椭圆的上顶点、右顶点，原点O到直线AB的距离为.
(1)求E的方程；
(2)直线l1，l2的斜率均为，直线l1与E相切于点M(点M在第二象限内)，直线l2与E相交于P，Q两点，MP⊥MQ，求直线l2的方程．模块综合评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若p，q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( B )
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
解析：“p或q”的否定是“綈p且綈q”，∴綈p，綈q是真命题，p，q都是假命题．
2．设命题甲：0A．乙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．乙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．乙是甲的充要条件
D．乙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：解不等式|x－3|<5，得－2∴乙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件．故应选B.
3．“若b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”，其否命题是( C )
A．若b2－4ac>0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
B．若b2－4ac>0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
C．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
D．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
解析：否命题既要否定条件又要否定结论．
4．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( A )
A．2，
B．－，
C．－3,2
D．2,2
解析：已知a∥b，则?t∈R，使得b＝ta(t≠0)，可得解得或
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( C )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
6．已知命题p：抛物线y2＝ax的焦点是，命题q：若椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆焦点坐标为(－2，0)，(2,0)，以下说法正确的是( B )
A．“p或q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．“非p”是真命题
D．以上都不对
解析：y2＝ax中，焦点是，p为真命题；q中，a2＝10，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝4，即焦点坐标为(±2,0)，故q为真，所以“p且q”为真命题．
7．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量能作为平面AEF的一个法向量的是( B )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
解析：设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则由题设得＝，＝.由得取z＝－2，则x＝－4，y＝1，所以n＝(－4,1，－2)．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于( D )
A.
B.
C.
D.
解析：∵椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，∴A(a,0)，F(－c,0)．
∵抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n)．
∵四边形ABFC是菱形，∴m＝(a－c)．将B(m，n)代入抛物线方程，得n2＝(a＋c)·(a－c)＝b2，
∴B，再代入椭圆方程，得＋＝1，即·＝，
化简整理，得4e2－8e＋3＝0，解得e＝.故选D.
9.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( A )
A．{}
B．{α|≤α≤}
C．{α|≤α≤}
D．{α|≤α≤}
解析：以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则M(1，，1)，N(0,1，)，D1(0,0,1)．设P(x,0,0)，则＝(1－x，，1)，＝(0,1，－)，·＝(1－x)·0＋1×＋1×(－)＝0，∴PM⊥D1N.
10．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( A )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，则解得由|AB|＝5，得2＋2＝25，化简得＋＝1.
11．如图，正方形A1BCD折成直二面角A?BD?C，则二面角A?CD?B的余弦值是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，
如图，连接A1C交BD于O，连接AO.则AO⊥BD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，
∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直．
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O?xyz.设正方形的边长为1，则O(0,0,0)，A，C，B，D，＝，＝，＝，则＝是平面BCD的一个法向量．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则即即令x＝1，则y＝1，z＝1，即n＝(1,1,1)．
从而|cos?n，?|＝＝＝，∴二面角A?CD?B的余弦值为.
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1,0)．若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝( D )
A．2
B．2
C．2
D．4
解析：
依题意，将(1，－2)代入抛物线的方程中，可得y2＝4x.如图，设直线l的倾斜角为α，则|AF|＝|AF|cosα＋|QF|＝|AF|cosα＋2，∴|AF|＝，同理|BF|＝，∴|AF|－|BF|＝－＝.∵以QF为直径的圆经过点B，∴BQ⊥BF，∴|BF|＝＝2cosα，即cosα＝1－cos2α，
∴|AF|－|BF|＝＝4，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．若双曲线的一个焦点为(0，－13)且离心率为，则其标准方程为－＝1.
解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
14．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
解析：p：{x|x>m＋3，或xm＋3，或x15．在三棱锥P?ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC夹角的正弦值是.
解析：
因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，则A，B，C.
设OP＝h，则P(0,0，h)．因为PA＝2a，所以h＝a，所以＝，
可求得平面PBC的法向量n＝，所以cos〈，n〉＝＝.
设OD与平面PBC的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝，所以OD与平面PBC夹角的正弦值为.
16.如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.则椭圆的标准方程为＋y2＝1.
解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得|DF1|＝＝c.从而S△DF1F2＝|DF1|·|F1F2|＝c2＝，故c＝1.从而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：解不等式x2－8x－20>0得p：A＝{x|x>10，或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．
依题意，p?q但q不能推出p，说明A?B.于是，有解得018．(本小题12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3.
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的点，且△ABP的面积为9，求点P的坐标．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝.
∴|AB|＝＝＝
∵|AB|＝3，∴＝3，解得m＝－4.
(2)由(1)知直线AB的方程为y＝2x－4.设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝.
又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，∴＝，∴|a－2|＝3，∴a＝5或a＝－1.故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．
19.(本小题12分)在如图直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(2)求异面直线AC1与B1C夹角的余弦值．
解：(1)证明：因为已知直三棱柱的底面三边分别是3,4,5，所以AC，BC，CC1两两互相垂直．如图以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D.
所以＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，所以·＝0，所以AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)，则＝，＝(－3,0,4)，
所以＝，所以DE∥AC1，因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.
(3)因为＝(－3,0,4)，＝(0,4,4)，所以·＝16，||＝＝5，||＝＝4.
所以cos〈，〉＝＝，所以夹角的余弦值为.
20．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时||的值是多少？
解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴长为＝1.故C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.⊥，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.所以k＝±时，x1x2＋y1y2＝0，即⊥.
当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－.||＝＝，
而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝＝，所以||＝.
21．(本小题12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图(1))．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B为直二面角，连接PE，PF，A1B，A1P，A1F(如图(2))．
(1)求证：A1E⊥平面BEP；
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
(3)求二面角B?A1P?F的余弦值．
解：(1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在题图(1)中，取BE的中点D，连接DF.
∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.∵∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又∵AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.
在题图(2)中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1?EF?B的平面角．∵二面角A1?EF?B为直二面角，∴A1E⊥BE.
又∵BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.
(2)如图，以E为原点，EB，EF，EA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E?xyz.
则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0，，0)，P(1，，0)，∴＝(0,0，－1)，＝(2,0，－1)，＝(－1，，0)，
设平面A1BP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则n1⊥，n1⊥，即令x1＝，得y1＝1，z1＝2，∴n1＝(，1,2)．
设直线A1E与平面A1BP所成角为α，则sinα＝|cos?，n1?|＝＝＝，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°.
(3)＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．设平面A1FP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2⊥，n2⊥，
即令y2＝1，得x2＝0，z2＝，∴n2＝(0,1，)．∴cos?n1，n2?＝＝＝，
∵二面角B?A1P?F为钝角，∴二面角B?A1P?F的余弦值是－.
22．(本小题12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别是椭圆的上顶点、右顶点，原点O到直线AB的距离为.
(1)求E的方程；
(2)直线l1，l2的斜率均为，直线l1与E相切于点M(点M在第二象限内)，直线l2与E相交于P，Q两点，MP⊥MQ，求直线l2的方程．
解：(1)∵＝，∴a＝c，b＝c.在△OAB中，|OA|＝c，|OB|＝c，|AB|＝c.则|OA|·|OB|＝××|AB|，
即×c×c＝×c×，解得c＝1，故a＝，b＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1，
(2)设直线l1：y＝x＋m(m>0)，则消去y，得x2＋mx＋m2－1＝0(
)，Δ＝(m)2－4(m2－1)＝－2m2＋4，
当Δ＝0时，m＝或m＝－(舍去)．此时方程(
)的解为x＝－1，故M.同理，设直线l2：y＝x＋n，则－设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得x2＋nx＋n2－1＝0.则＝，
＝，·＝(x1＋1)(x2＋1)＋＝(x1＋1)(x2＋1)＋＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝(n2－1)＋(－n)＋＝n(n－)．
由·＝0，解得n＝0或n＝.又∵－