5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（20张PPT）

5.1.2 弧度制
问题1：一幅画的尺寸是长1米，宽2尺，试计算这幅画的面积.
思考：长度单位除了尺和米以外还有英尺、码（约91.4厘米）、海里等，你还能举出生活中类似的实例吗？
(2)在同一个问题中不同的度量单位之间不能直接运算，需要进行换算统一单位。
(1)同一个量可以有不同的度量单位，不同场合和背景下根据实际需要可以选用不同的度量制；
问题1说明：
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
90°
60°
规定把周角的 作为1度的角，
用度做单位来度量角的单位制叫做角度
制．
问题3：由 ，得到 ，请同学们分析式子 的意义。
对于整个圆周无论半径如何，周长多长，我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对的圆心角就是1度的角。
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论周长如何都只能分成 份。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度
r
l=r
O
A
B
设弧AB的长为l，
若l=r，
则∠AOB=
l
r
=
1 弧度
若l=2r，
则∠AOB=
l
r
=
2 弧度
2弧度
O
A
B
l=2r
若l=3r，
则∠AOB=
l
r
=
3 弧度
B
3弧度
O
A
l=3r
l=3r
O
A
B
r
-3弧度
若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是
l
r
=
3，
即∠AOB=－
l
r
=
－3弧度
思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么 的弧度数是多少?
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是
︱α︱=
l
r
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
问题4：角度制与弧度制对比有什么区别和联系？
(2) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；
（1）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值;
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小； 1弧度≠1?
问题5：角度制与弧度制换算关系是什么？
弧度与角度的换算
A
2πrad
l=2 π r
O
（B）
r
l
r
=
若l=2 π r，则∠AOB=
此角为周角
即为360°
360°= 2π rad
180°= π rad
2π弧度
由180°= π 弧度 还可得
1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
π
1弧度 =（ ——）°≈ 57．30°= 57°18′
π
180
180°= 1°× 180
三、例题
（1）把67°30′化成弧度。
（2）把 —π 弧度化成度。
5
3
解：
解：
度
00
300
450
1200
1350
1500
3600
弧度
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
注意：
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
正角
负角
零角
正数
负数
0
任意角的集合
实数集R
在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
锐角：
直角：
钝角：
平角：
周角：
例2：请用弧度制表示下列角度的集合
例3:用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
弧度制：
扇形面积公式：
弧长公式：
探究：
弧长公式：
扇形面积公式：
角度制：
例4 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求
扇形的中心角.
根据题意:
①
②
分析:要求中心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R.
解 　 设扇形的中心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R,
由①得 ,
代入②得
舍去
当R=1时,l=8cm时,
当R=4时,l=2cm时,
∴所求扇形的中心角的弧度数为