高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义（1）-课件（39张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义（1）-课件（39张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 904.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-23 21:08:46 | ||
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文档简介
导数的概念及其几何意义（1）
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
问题1 解决这两类问题时有什么共性？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
问题1 解决这两类问题时有什么共性？
都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处的瞬时变化率吗？
追问1：为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？
在P0 (1,1)处的切线斜率
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量 ， 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.计算自变量x从x0变化到 这个过
程中函数值的平均变化率.
追问2：自变量 x 从 x0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
自变量 x ：
函数值 y ：
函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率：
函数 y＝f (x)
追问3：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
切线斜率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
无限趋近于
无限趋近于
无限趋近于
函数 y＝f (x)
追问4：当 无限趋近于 0 时，平均变化率
是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
这说明当 无限趋近于0时，平均变化
率 不一定能无限趋近于一个确定的值.
考查 f (x)＝| x | 在 x＝0 附近的变化情况.
举反例：
当 时，
当 时，
定义：如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，我们称
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导，并把这个确定的值叫做
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ，记作 或 . 用极限符号表示这个定义，就是
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
在P0 (1,1)处的切线斜率
实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的
增长率等.
例1 设 ，求
分析：
因为
所以
为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限.
例1 设 ，求
解：
问题4 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
问题4 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ，
若 存在，则
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
导数是瞬时变化率的数学表达.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
解：
在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为 y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？
瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.
解：
在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.
表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是
2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.
导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是
－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.
瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.
根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.
课堂小结
知识层面
导数的概念；
根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；
应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.
思想方法层面
运动变化的观点；
极限思想 .
课后作业
1. 设函数 f (x)＝x2－1. 求：
（1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；
（2）函数在 x＝1 处的导数.
2. 已知车轮旋转的角度 θ (单位：rad )与时间 t (单位：s )之间的关系为 求车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度.
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
问题1 解决这两类问题时有什么共性？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
问题1 解决这两类问题时有什么共性？
都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处的瞬时变化率吗？
追问1：为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？
在P0 (1,1)处的切线斜率
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量 ， 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.计算自变量x从x0变化到 这个过
程中函数值的平均变化率.
追问2：自变量 x 从 x0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——平均变化率
——平均变化率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
自变量 x ：
函数值 y ：
函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率：
函数 y＝f (x)
追问3：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
切线斜率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
无限趋近于
无限趋近于
无限趋近于
函数 y＝f (x)
追问4：当 无限趋近于 0 时，平均变化率
是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
这说明当 无限趋近于0时，平均变化
率 不一定能无限趋近于一个确定的值.
考查 f (x)＝| x | 在 x＝0 附近的变化情况.
举反例：
当 时，
当 时，
定义：如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，我们称
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导，并把这个确定的值叫做
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ，记作 或 . 用极限符号表示这个定义，就是
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
在P0 (1,1)处的切线斜率
实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的
增长率等.
例1 设 ，求
分析：
因为
所以
为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限.
例1 设 ，求
解：
问题4 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
问题4 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ，
若 存在，则
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
导数是瞬时变化率的数学表达.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
解：
在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为 y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？
瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.
解：
在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.
表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是
2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.
导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是
－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.
瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.
根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.
课堂小结
知识层面
导数的概念；
根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；
应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.
思想方法层面
运动变化的观点；
极限思想 .
课后作业
1. 设函数 f (x)＝x2－1. 求：
（1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；
（2）函数在 x＝1 处的导数.
2. 已知车轮旋转的角度 θ (单位：rad )与时间 t (单位：s )之间的关系为 求车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度.