高中数学人教A版必修2第四章4.1.1 圆的标准方程课件（23张PPT）

4.1.1 圆的标准方程
§4.1 圆的标准方程
问题提出
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条
直线，一点和倾斜角也确定一条直线，
那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.
圆心和半径
圆的标准方程
知识探究一：圆的标准方程
平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点A为圆心，r为半径的圆？
P={M||MA|=r}.
A
M
r
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为C(a，b)，圆半径
为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？
C
M
r
x
o
y
圆心,半径
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
x
y
O
C
M(x,y)
设点M (x,y)为圆C上任一点，
|MC|= r
则
P = { M | |MC| = r }
圆上所有点的集合
(x-a)2+(y-b)2=r2
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
圆的标准方程
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
x2 + y2 = r2
圆心在x轴上:
(x ? a)2 + y2 = r2
圆心在y轴上:
x2+ (y ? b)2 = r2
思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ； 反之，若点M(x，y)的坐标适合方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这个圆上吗？
A
M
r
x
o
y
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？
思考5:我们把方程 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？
x2+y2=1
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
思考7:方程 ，
，
是圆方程吗？
思考8:方程 与 表示的曲线分别是什么？
知识探究二：点与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
A
O
A
O
A
O
OAOA>r
OA=r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？
思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2}
表示的图形是什么？
A
r
x
o
y
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个
圆上.
A
x
y
O
M2
M1
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
若点到圆心的距离为d，
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上；
d待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
B
x
o
y
A
C
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
C
A(1,1)
B(2,-2)
弦AB的垂直平分线
例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
解：
设所求圆的半径为r
则：
=
∴所求圆的方程为：
C
y
x
O
M
练习
小结
圆心C(a,b),半径r
x
y
O
C
A
B
C
1.圆的标准方程
2.圆心
①两条弦的垂直平分线的交点
②直径的中点
3.半径
①圆心到圆上一点
②圆心到切线的距离
归纳
4、求过定点的切线方程的基本方法：
（1）点在圆上 —— 一解；
（2）点不在圆上 —— 两解
特别注意斜率不存在的直线,不要漏解
5.求圆的标准方程的常用方法
(1)几何法:利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.
(2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.
归纳
6.点和圆之间存在有三种位置关系：
若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上?
d=r?
(x0 ?a)2 +( y0 ?b)2 =r2
P在圆外?
d>r?
(x0 ?a)2 +(y0 ?b)2 >r2
P在圆内?
d(x0 ?a)2 +(y0 ?b)2 < r2
归纳
7、 一般地，过圆(x ? a)2 + ( y ? b)2 = r2上一点M(x0，y0)的切线方程为：
(x0 ? a)(x ? a) + ( y0 ? b)( y ? b) = r2．
归纳
作业：
P120练习： 1，3.
P124习题4.1A组：2，3，4.