沪教版（上海）数学高三上册-16.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质 课件（18张PPT）

“杨辉三角”与二项式系数的性质
一般地，对于n N*有
二项定理:
复习
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
共n+1个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1
6
15
20
15
6
1
1
5
10
10
5
1
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
思考
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
对称性
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
《详解九章算法》中记载的表
杨 辉
杨辉三角
二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：
当 时，其图象是右图中的7个孤立点．
①对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
二项式系数的性质
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，
练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
则n=__________
B
8
②增减性与最大值
二项式系数的性质
1.增减性：从第一项起至中间项,二项式系
数逐渐增大,从中间项以后又逐渐减小.
当n为偶数时,中间一项的二项式
系数 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
相等，且同时取得最大值。
2.最大值
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .
练习
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于 (　　)．
《详解九章算法》中记载的表
杨 辉
杨辉三角
③各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ，则：

二项式系数的性质
注意：

赋值法
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
在二项式定理中，令 ，则：
赋值法
证明：
练习
已知
求:(1) ；
(2) ；

(3) ;
(4)
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设
二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等
式，再根据结果求值
(1)二项式系数的三个性质
(2) 数学思想：函数思想
a 单调性；
b 图象；
c 最值。
小结