沪教版（上海）数学高一上册-2.2 二次函数零点的分布课件（17张PPT）

二次函数零点的分布
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
零点存在定理
一、复习
(1) 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
(2) f(a)·f(b)<0
函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点；
例题1、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。

你首先想到了什么方法？
韦达定理
你还有其他思路吗？
能从二次函数入手思考该问题吗？
解：设方程的两实根分别为x1、x2，则
例题1、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。
从二次函数的零点角度分析
改写题目，题意不变
x2＋(m－3)x＋m=0
设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m
有两个正根
函数与x轴的交点在x轴的正半轴
如何画一个二次函数？
1.开口方向 2.对称轴
3.关键点：顶点，零点或端点
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：
例题1、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。
{m|0＜m≤1}
x
y
比较两种思路，作出评价：
法一：韦达定理法
法二：二次函数法
1、形式不同，本质一样；
2、在本问题中韦达定理法更简洁。
以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？
（2）两负实根；
（3）一正一负两实根
在初中已经学过了用韦达定理解决这类与零有关的问题。现在请你用刚刚所学的第二种方法来解决这两个问题。
男生完成（2），女生完成（3）。只需列式
例题1：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（1）两正实根(已解决){m|0＜m≤1}
其他问题：
（2）有两个负根
例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：
y
x
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
x
y
例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（3） 一个正根，一个负根
（2）两负实根；
（3）一正一负两实根
（4）两实根均大于0.5；
（5）两实根均小于1；
（6） 一个根大于1，一个根小于1
例题1：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（1）两正实根(已解决){m|0＜m≤1}
其他问题：
条件改变
思路不变
三组同学按顺序分别完成（4）-（6）

（4） 两个根都大于0.5
例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件：
0.5
x
y
O
辨析：
解：设方程的两实根分别为x1、x2，则
例题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（4） 两个根都大于0.5
错误：条件与列式不等价
例如：两根为4和0.2时

（5） 两个根都小于1
例题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件：
y
x
1
（6） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
例题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：
1
x
y
总结：一元二次方程根的分布
1.读题，确定一元二次方程根的范围
2.画图，注意开口方向与零点的位置
3.根据图像，写出解题的关键式
(1)判别式;（要特别注意是否该带等号）
(2)对称轴与区间端点的位置关系;
(3)区间端点函数值f(m),f(n),f(k)等的符号.
弱水三千，只取一瓢
题变万化，主抓其根

分类 图像 列式
两个根都小于k
两个根都大于k
y
x
k
k
x
y
完成表格：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
一根小于k，一根大于k
k
x
y
f(k)<0
反思归纳，拓展深化
1.一元二次方程根的分布问题可以用什么方法来解决？
韦达定理法 二次函数法
2.讨论两种方法的相同点和不同点，比较这两种方法的优劣，你更喜欢哪一种？
（1）韦达定理法从代数角度出发，更为简洁易懂，但只能解决与零有关的根的分布问题，有一定的局限性。
（2）二次函数法从图像角度出发，情况更为多变，但可以解决大部分的根的分布问题，适用范围更广泛，更为实用。