函数的单调性
x
y
o
一、发现探索
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
x
y
o
o
x
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
y
x
二、观察分析
X逐渐增加时,函数值y逐渐增加
X逐渐增加时,函数值y逐渐减少
函数的这两种性质都叫做函数的单调性
如图为某地区2010年元旦这一天24小时内的气温变化图,观察这张气温变化图:
x
y
o
x
y
o
如果对于属于定义域D内的某个区间I 上的任意两个自变量值x1 , x2
f (x1) < f (x2)
那么就说f(x)在这个区间上是增函数,给定的区间称为函数的单调增区间.
x1 < x2
O
x
y
三、归纳总结
如果在给定区间上任取x1 , x2 ,
O
x
y
类比增函数定义给出减函数定义:
f (x1) > f (x2)
那么就说f(x)在这个区间上是减函数,给定的区间称为函数的单调减区间.
x1 < x2
例1:如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) ,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数。
函数 的单调区间有
解:其中 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数.
例题分析
例1.根据函数图象指出函数的单调增区间和单调减区间.
y=f(x)在区间 上,对于任意的 x1,x2 ,当x1< x2时,都有__________,所以y=f(x)在区间_______上为单调______函数.______称为函数y=f(x)的单调______区间.
y=f(x)的单调增区间有___________y=f(x)的单调减区间有_______,_______.
例2 证明:证明函数f(x)=2x+1在R上是增函数。
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)
由x1即 f(x1) < f(x2)
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1=2( x1- x2)
于是 f(x1)-f(x2)<0
所以,函数f(x)=2x+1在R上是增函数。
取值
定号
变形
作差
下结论
x
y
解:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,
且x1f(x1)-f(x2)
又由x1即 f(x1) > f(x2)
则f(x1)-f(x2) >0,
由x1、x2∈(0,+∞) ,得 x2 x1 >0
练习:判断并证明函数 的单调性
例题:证明函数 在区间 上是增函数
如果对于属于定义域D内的某个区间I 上的任意两个自变量值x1 , x2
f (x1) < f (x2)
那么就说f(x)在这个区间上是增函数,给定的区间称为函数的单调增区间.
x1 < x2
O
x
y
归纳总结
如果在给定区间上任取x1 , x2 ,
O
x
y
类比增函数定义给出减函数定义:
f (x1) > f (x2)
那么就说f(x)在这个区间上是减函数,给定的区间称为函数的单调减区间.
x1 < x2
(1)取值:设任意x1,x2 给定区间且x1 (2)作差:作差f(x1)-f(x2)
(4)定号:( f(x1)(3)变形:因式分解、配方、有理化等
(5)下结论。
判断或证明函数单调性方法及步骤:
函数单调性及奇偶性的简单应用
例1 判断函数 在 上的单调性,并证明
练习1:如果函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围
例2 已知函数 是偶函数,它在 上单调递增,则 的大小关系
练习2 已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ,求实数 的取值范围
练习3 定义在 上的偶函数 在 上单调递减,且 ,求实数 的取值范围
课堂小结及作业
1、函数单调性的的定义
2、判断或证明函数单调性方法及步骤
取值、作差、变形、定号、下结论。