人教版数学八年级上册12.2再探三角形全等的条件 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题
再探三角形全等的条件
教科书
书名：
义务教育教科书八年级上册
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2013
年6
月
教学目标
教学目标：
梳理全等三角形判定方法的探究过程，能提出关于“SSA能否成为全等判定方法”的问题，并分类进行证明或证伪.
经历提出问题、证明猜想、构造反例的过程，体会数学结论的生成过程，培养学生提出问题、解决问题的能力.
教学重点：
分类讨论两边一对角（SSA）分别相等的两个三角形是否全等.
教学难点：
构造反例、归纳结论.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2min
引入
通过前面的学习，我们一起，经历了一次数学家探索三角形全等条件的过程——首先，由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等.
但同时满足6个条件，似乎过于苛刻和繁琐.
于是提出探究的方向：
如果能用较少的条件，就能简洁地判断两个三角形全等，那会是几组条件呢？
通过实验，我们得到三组条件就能保证两个三角形全等.
那么，从边、角出发，满足三组条件的所有情况，我们是否在之前的学习中都讨论完全了呢？
并没有
下面，我们就一起再探三角形全等的条件，或许会有新的发现！
6min
新课
提出问题
问题1：从边、角出发的三组条件，应该有几种不同的组合？
由单一条件构成：SSS或AAA
由边、角的复合条件构成：
①两角一边AAS或ASA
②两边一角SAS或SSA
理论上，共有6种不同的组合.
问题2：其中哪种组合是最容易被同学否定的呢？
AAA是最容易被否定的.
例如，任作两个等腰直角三角形，满足三组角均相等.形状能被确定，但由于缺少边的条件，大小不定，故不能保证二者全等.
这样，剩下的组合中，无论成立与否，我们发现，要想成为全等三角形的判定，都至少要有一组边的条件.
和我们已经探究得到的5种判定方法相比，对于任意三角形，有4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；对直角三角形，还多了一种特殊的HL.
HL表面上只需要斜边、直角边两组条件，但由于多了直角的前提，实则也是3个条件，可以并入“两边一对角分别相等”的情况.
提出问题
分析到这里，我们会有这样的疑问：
SSA能否在非直角三角形判定全等时也成立呢？
进行探究
要想解决这个问题，按照我们对于几何学习的经验，首先要提出猜想：两组边及一边的对角分别相等的两个三角形全等.
下面，我们对这个猜想进行证明或证伪.
前面的学习中，我们积累了这样的经验：三角形的全等条件就是确定三角形的形状和大小的条件，根据这一思路，两边一对角分别相等的两个三角形是否全等的问题，可以转化为两边一对角是否能确定三角形的形状和大小的问题.
从这个角度出发，可进行讨论如下：
我们要先将问题进行数学化地叙述，以便研究.
已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为α
我们已经探究过直角三角形的情况，现在，可以从它出发展开研究.
当α=90°时
先作射线AP、AQ使其夹角为90°（如图1-1）
再任作线段a，b
（a>b）
在射线AP上截取AB=b（如图1-3），以B为圆心，a为半径作弧，交射线AQ于点C，即BC=a（如图1-4），可确定三角形的形状和大小.
同学们一定有这样的经验：α作为三角形中最大的角，所对的边，也一定是最长边.
所以，我们只需让a边与α角相对即可.
下面，我们可以接着从角α出发，分类讨论其为钝角、锐角的情况。同学们可以先试着设计一下作图流程，并尝试自己作图.
当α>90°时
先构造射线AP、AQ使其夹角为钝角，仍用α表示，
同（1），任作线段a，b
（a>b）
也可唯一确定三角形的形状和大小（如图2-1）；
当α<90°时
沿用上面的作图经验，我们容易得到图3-1，且也是唯一的.
到目前为止，我们的猜想“似乎”都是成立的.
我们可以将图1-4、2-1、3-1的情况加以综合，发现下面的结论：
两边分别相等且两边中大边的对角也分别相等的两个三角形全等（简记为“SSA(1)”）
我们已经探究的HL，就属于这种判定SSA(1)的特殊情况.
注意，这里是假设a>b的情况。
如果a不变，b变长，当a=b时，如图3-2所示，以B为圆心，a为半径作弧，与射线AQ存在两个交点，其中一个交点与点A重合，不能构成三角形，另一个交点为C，得到三角形的形状，也是确定的.
当a我们发现，三角形由不能唯一确定（图3-3）到唯一确定（图3-4），最后，由于b变得太大，以B为圆心a为半径作弧时，无法与射线AQ相交，三角形不存在了（图3-5）.
至此，回顾一下，我们的讨论是否完全？
我们以“两边一对角”中的“一对角”α作为分类的第一层标准，按照α为钝角、直角和锐角三种情况展开讨论；每一种讨论中，又对“两边一对角”中的“两边”a、b谁为α所对的较长边，展开第二个层次的讨论，故讨论是完全的.
我们发现：
其实，两边一对角分别相等的两个三角形，在多数情形下是全等的，只有一种情况不能确定三角形的形状，就是图3-3的情况.
此时，a随着学习的深入，我们会知道，当a归纳小结
下面，我们梳理一下今天的探究的过程，结合图形归纳我们的结论.
已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为α
SSA成立的情况：
α>90°
α=90°
当α≥90°时
由a，b，α可确定三角形的形状和大小，其中α=90°时，就是我们熟悉的HL.
（2）当α＜90°时
①若a>b或a=b，由a，b，α可确定三角形的形状和大小
a>b
a=b
②若a＜b且a等于点B到AQ的距离时，由a，b，α可确定三角形的形状和大小.
SSA不成立的情况：
当α＜90°，
a＜b且a大于点B到AQ的距离时，从图中我们能直观地看出，长边b的对角一个是钝角，一个是锐角，两个三角形显然是不全等的.
同学们在心里，一定为“SSA”鸣不平吧：
差一点儿就能升级成世界公认的判定定理了！但因为这一点瑕疵，该结论就不具有普适性了.这也正体现了数学的严谨和科学，不是吗？
补充思考
三组条件的情况，我们已经进行了较为深入地研究，至此，同学们可能会有这样的想法：如果条件多于三组，应该会更保险些吧？
曾经有一位中学的数学教师向数学家赵访熊教授请教：如果一个三角形，有五个元素与另一个三角形的五个元素两两相等，这两个三角形是否全等？
同学们，你们认为全等吗？
赵教授的答案是：不一定
我们来看举出的反例：
如图，在△ABC与△DEF中，AC=DE，BC=DF,∠A=∠D，
∠B=∠E，∠C=∠F,两个三角形有5个元素两两相等，但这两个三角形显然不全等.
从反例的构造中我们发现，三角形的形状不难任意给出，但要保证还有两条边分别相等，边的长度就要有限制了，至于为什么是8、12、18、27这组数，或者还有哪些符合条件的数可以构成这样的两个三角形，就需要更多的数学知识了.感兴趣的同学，可以查阅相关资料，继续探讨.
由此看来，如果三角形的角或边不是对应相等的关系，即使两两相等的元素再多，也不一定有全等关系.
小结
同学们，今天，我们虽然没有探究出新的方法来判定两个三角形全等，但我们发现两边一对角分别相等的两个三角形，在哪些情形下是可以判定全等的.虽然我们发现的结论不能称为定理，也不能在解题中直接使用，但探究的过程、分类的依据、讨论的完备，都非常有意义.我们可以沿用今天的思路，去发现、验证我们在几何学习中的其他猜想.
记住，珍视自己的每一个质疑，它们都承载着人类的智慧哦.
作业
阅读教材P46-47
借助几何画板，或通过尺规作图，试着复盘今天探究的过程吧，把你的发现，整理在作业本上.