人教版八年级上册数学学案：13.4 课题学习 最短路径问题
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学学案：13.4 课题学习 最短路径问题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 350.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-23 17:57:14 | ||
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文档简介
课前热身：
1知识点回顾
两点之间
最短。
线段垂直平分线的性质：
点到直线的垂线段
如图，将军从山脚下的A地出发，途中要渡过一条河流a，最后到河的另一岸的B地宿营，从哪渡河，可使行军路线最近呢？请你作图帮将军找到渡河点。
你的依据是：
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
知识小贴士：
将此类问题推广到一般情况，解决此类问题一般性的方法了是：
（1）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。
（2）把不在一条线上的问题，通过轴对称作图转化成一条线上的问题。
（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
13.4
课题学习
最短路径问题
【学习目标】：
A级――在解决“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”这样问题时，能通过作图找到“满足距离之和最小”的点。
B级――会将实际问题或几何问题归纳为“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”这一数学模型并解决问题。
C级――会利用轴对称变换研究更复杂的最短路线问题
D级――会利用轴对称和线段公理来解释最短路线问题解法的合理性
【重点、难点】
会利用轴对称变换研究更复杂的最短路线问题。
会利用轴对称和线段公理来解释最短路线问题解法的合理性。
【学习过程】
问题1（同岸饮马宿营问题）如图，将军从山脚下的A地出发，最后要到B地宿营，但在行军途中，将军必须要带领军队到一条河流a的岸边取水，以补充部队给养，从哪取水，可使行军路线最近呢？请你作图帮将军找到取水点。（此问题中河流可以看成一条直线，于是，这个问题可以转化为：“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。）
作法：
证明：
变式训练1：如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求作：点P。
作法：
问题2.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：
证明：
变式训练2：若将马厩和帐篷合并为一个地点，即牧马人从家（帐篷）中出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，最后回到家中，请你帮他确定这一天的最短行走路线。
作法：
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信你会收获很
多。
方法与技巧：
很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“”最短距离为（也就是点到点之间的线段最短），从而实现了问题的求解．
本节反思
1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
变式训练3：“A为马厩，B为帐篷，
牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草
地边某处牧马，再到河边饮马，接着到
沙滩上遛马，最后回到帐篷。请你帮他
确定这一天的最短行走路线。”怎样画最
短路线？（不写作法，保留作图痕迹）
问题3.（造桥选址问题）（选自人教版八年级上册）独立阅读理解，把看不懂的地方与同学或老师交流一下。）
如图1，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥
与河岸垂直）
图1
图2
方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径最短”因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．故桥长是一个定值,无论桥架在何处,是必经路线,要使从到的折线最短,实际是就是使“”最短即可。
怎样保证“”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接就可以了！由于河两岸平行,为此我们不妨将桥平移到处,且与重合,则与重合,由平移性质知=.由“两点之间,线段最短”的性质知,要使最短(即最短),只要点在线段上即可．为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．
图2的作法：
⑴过点作于点；
⑵在线段上截取=桥长；
⑶连接交于点；
⑷过点作于点.则即为所求的架设桥的地点。
变式训练4：．如图，某公园景观河在CC′处有个直角转弯，河宽均相等，在景观河的横向和纵向河道上各要建一座垂直于河岸的桥，A、B两处建两个观光亭，要从A处经过两座桥到达B处，两座桥应各建在什么位置才能使从A处经过两座桥到达B处的路程最短，请你通过作图找到建桥的合适位置？
作法：
问题5（密罐吃糖问题）桌上有一个圆柱形空糖罐子（盖子已打开），在罐口内壁的A处残存有蜜糖，一只小蚂蚁从桌上爬至罐子外壁、A处对面的B处时，突然发现了蜜糖。问蚂蚁从罐口的什么位置进入罐内才能到达蜜糖所在的位置的路程最短。请你作图找到小蚂蚁进入罐内的合适位置。（提示：立体图形的最短路径问题往往将其展开，转化成平面内的问题加以解决。）
作法：
1知识点回顾
两点之间
最短。
线段垂直平分线的性质：
点到直线的垂线段
如图，将军从山脚下的A地出发，途中要渡过一条河流a，最后到河的另一岸的B地宿营，从哪渡河，可使行军路线最近呢？请你作图帮将军找到渡河点。
你的依据是：
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
知识小贴士：
将此类问题推广到一般情况，解决此类问题一般性的方法了是：
（1）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。
（2）把不在一条线上的问题，通过轴对称作图转化成一条线上的问题。
（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
13.4
课题学习
最短路径问题
【学习目标】：
A级――在解决“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”这样问题时，能通过作图找到“满足距离之和最小”的点。
B级――会将实际问题或几何问题归纳为“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”这一数学模型并解决问题。
C级――会利用轴对称变换研究更复杂的最短路线问题
D级――会利用轴对称和线段公理来解释最短路线问题解法的合理性
【重点、难点】
会利用轴对称变换研究更复杂的最短路线问题。
会利用轴对称和线段公理来解释最短路线问题解法的合理性。
【学习过程】
问题1（同岸饮马宿营问题）如图，将军从山脚下的A地出发，最后要到B地宿营，但在行军途中，将军必须要带领军队到一条河流a的岸边取水，以补充部队给养，从哪取水，可使行军路线最近呢？请你作图帮将军找到取水点。（此问题中河流可以看成一条直线，于是，这个问题可以转化为：“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。）
作法：
证明：
变式训练1：如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求作：点P。
作法：
问题2.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：
证明：
变式训练2：若将马厩和帐篷合并为一个地点，即牧马人从家（帐篷）中出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，最后回到家中，请你帮他确定这一天的最短行走路线。
作法：
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信你会收获很
多。
方法与技巧：
很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“”最短距离为（也就是点到点之间的线段最短），从而实现了问题的求解．
本节反思
1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
变式训练3：“A为马厩，B为帐篷，
牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草
地边某处牧马，再到河边饮马，接着到
沙滩上遛马，最后回到帐篷。请你帮他
确定这一天的最短行走路线。”怎样画最
短路线？（不写作法，保留作图痕迹）
问题3.（造桥选址问题）（选自人教版八年级上册）独立阅读理解，把看不懂的地方与同学或老师交流一下。）
如图1，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥
与河岸垂直）
图1
图2
方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径最短”因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．故桥长是一个定值,无论桥架在何处,是必经路线,要使从到的折线最短,实际是就是使“”最短即可。
怎样保证“”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接就可以了！由于河两岸平行,为此我们不妨将桥平移到处,且与重合,则与重合,由平移性质知=.由“两点之间,线段最短”的性质知,要使最短(即最短),只要点在线段上即可．为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．
图2的作法：
⑴过点作于点；
⑵在线段上截取=桥长；
⑶连接交于点；
⑷过点作于点.则即为所求的架设桥的地点。
变式训练4：．如图，某公园景观河在CC′处有个直角转弯，河宽均相等，在景观河的横向和纵向河道上各要建一座垂直于河岸的桥，A、B两处建两个观光亭，要从A处经过两座桥到达B处，两座桥应各建在什么位置才能使从A处经过两座桥到达B处的路程最短，请你通过作图找到建桥的合适位置？
作法：
问题5（密罐吃糖问题）桌上有一个圆柱形空糖罐子（盖子已打开），在罐口内壁的A处残存有蜜糖，一只小蚂蚁从桌上爬至罐子外壁、A处对面的B处时，突然发现了蜜糖。问蚂蚁从罐口的什么位置进入罐内才能到达蜜糖所在的位置的路程最短。请你作图找到小蚂蚁进入罐内的合适位置。（提示：立体图形的最短路径问题往往将其展开，转化成平面内的问题加以解决。）
作法：