26.3 实践与探索（含解析）
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华东师大版26.3实践与探索
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
3．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm
4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是(????)
A．6?s B．4?s C．3?s D．2?s
5．已知两个正方形的面积和y与其中一个正方形边长之间的函数解析式的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当时，这两个正方形的面积和为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．24
6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝a（1＋x）2 C．y＝（1﹣x）2＋a D．y＝a（1﹣x）2
7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（ ）
A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）
C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）
8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．30万元 B．40万元
C．45万元 D．46万元
二、填空题
9．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
11．如图是一座抛物线型拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE长为______m.
12．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．
三、解答题
13．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10.（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.
（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升）
14．已知抛物线经过点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点关于轴的对称点的坐标；
（3）求的面积；
（4）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
16．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
参考答案
1．A
解析：
）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m
2．B
解析：
∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
3．A
解析：
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选A．
4．A
解析：
由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t?5t2得：5t2?30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
5．B
解析：
由题知解析式为，将点（3,18）代入得：a=2
∴解析式为
当x=4时，y=20；故选B
6．B
解析：
解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2．
故选：B．
7．D
解析：
解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．
则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），
故选：D．
8．D
解析：
解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选D．
9．3.75
解析：
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
10．x1=-1，x2=3
解析：
二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+3=0的两个根，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．
11．48
解析：
如图，以点C为原点建立平面直角坐标系，
依题意，得B（18，－9），
设抛物线解析式为：，将B点坐标代入，得．
∴抛物线解析式为：．
依题意，得D、E点纵坐标为y＝－16，代入，得
，解得：x＝±24．
∴D点横坐标为－24，E点横坐标为24．
∴DE的长为48m．
12．1
解析：
设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝.
∴∠DCE＝90°.
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.
13．（1）；（2）再持续5到达拱桥顶.
解析：
（1）设所求抛物线的解析式为.
设，则，
把、的坐标分别代入，
得解得
∴.
（2）∵，
∴
∴拱桥顶到的距离为1，.
故再持续5到达拱桥顶.
14．（1）；（2）；（3）；（4）点的坐标为、、、.
解析：
（1）∵抛物线y＝ax2经过点A（2，1），
∴4a＝1，
解得a＝，
∴这个函数的解析式为y＝x2；
（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（?2，1）；
（3）∵点A（2，1），B（?2，1），
∴AB＝2?（?2）＝2＋2＝4，
S△OAB＝×4×1＝2；
（4）设点的坐标为，∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
∴.
则得或.
∴点的坐标为、、、.
15．（1）
（2）当S=45时，有，解得，∵，∴x=5.
（3）,∵抛物线开口向下，对称轴为x=4，当x>4时，y随x增大而减小，∴在范围内，当x=时，S最大，．此时AB=，BC=10.
解析：
（1）根据AB为xm，BC就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将S=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．
16．（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
解析：
试题分析：（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可．
试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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华东师大版26.3实践与探索
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
3．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm
4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是(????)
A．6?s B．4?s C．3?s D．2?s
5．已知两个正方形的面积和y与其中一个正方形边长之间的函数解析式的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当时，这两个正方形的面积和为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．24
6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝a（1＋x）2 C．y＝（1﹣x）2＋a D．y＝a（1﹣x）2
7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（ ）
A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）
C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）
8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．30万元 B．40万元
C．45万元 D．46万元
二、填空题
9．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
11．如图是一座抛物线型拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE长为______m.
12．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．
三、解答题
13．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10.（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.
（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升）
14．已知抛物线经过点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点关于轴的对称点的坐标；
（3）求的面积；
（4）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
16．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
参考答案
1．A
解析：
）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m
2．B
解析：
∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
3．A
解析：
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选A．
4．A
解析：
由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t?5t2得：5t2?30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
5．B
解析：
由题知解析式为，将点（3,18）代入得：a=2
∴解析式为
当x=4时，y=20；故选B
6．B
解析：
解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2．
故选：B．
7．D
解析：
解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．
则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），
故选：D．
8．D
解析：
解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选D．
9．3.75
解析：
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
10．x1=-1，x2=3
解析：
二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+3=0的两个根，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．
11．48
解析：
如图，以点C为原点建立平面直角坐标系，
依题意，得B（18，－9），
设抛物线解析式为：，将B点坐标代入，得．
∴抛物线解析式为：．
依题意，得D、E点纵坐标为y＝－16，代入，得
，解得：x＝±24．
∴D点横坐标为－24，E点横坐标为24．
∴DE的长为48m．
12．1
解析：
设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝.
∴∠DCE＝90°.
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.
13．（1）；（2）再持续5到达拱桥顶.
解析：
（1）设所求抛物线的解析式为.
设，则，
把、的坐标分别代入，
得解得
∴.
（2）∵，
∴
∴拱桥顶到的距离为1，.
故再持续5到达拱桥顶.
14．（1）；（2）；（3）；（4）点的坐标为、、、.
解析：
（1）∵抛物线y＝ax2经过点A（2，1），
∴4a＝1，
解得a＝，
∴这个函数的解析式为y＝x2；
（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（?2，1）；
（3）∵点A（2，1），B（?2，1），
∴AB＝2?（?2）＝2＋2＝4，
S△OAB＝×4×1＝2；
（4）设点的坐标为，∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
∴.
则得或.
∴点的坐标为、、、.
15．（1）
（2）当S=45时，有，解得，∵，∴x=5.
（3）,∵抛物线开口向下，对称轴为x=4，当x>4时，y随x增大而减小，∴在范围内，当x=时，S最大，．此时AB=，BC=10.
解析：
（1）根据AB为xm，BC就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将S=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．
16．（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
解析：
试题分析：（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可．
试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
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