27.4 正多边形和圆（含解析）
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华东师大版27.4 正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
5．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A． B． C． D．
6．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
7．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（ ）
A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形
B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
二、填空题
8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC=________．
9．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_____．
10．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
三、解答题
12．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
13．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
14．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示（顶点是网格线的交点）
（1）请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1
（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
参考答案
1．C
解析：
因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°.
2．C
解析：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.
故选C.
3．D
解析：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
4．B
解析：
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
5．A
解析：
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于 ．
故选A．
6．D
解析：
解：正五边形的中心角为．
故选D
7．A
解析：
正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
故选A．
8．.
解析：
解：连接OB、OC，则∠E＝∠BOC，
∵O是正方形外接圆的圆心，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°．
9．
解析：
解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴△OBC的面积＝△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积＝．
故答案为
10．
解析：
试题解析：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
，
∴⊙O的内接六边形的面积为：6×=．
故答案为：.
11．115°
解析：
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
12．四边形各内角的度数分别是，，，.
解析：
依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
13．∠A=60°.
解析：
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
14．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
解析：
(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
15．（1）如图所示；见解析；（2）=π．
解析：
（1）如图；
（2）如图；
旋转过程中，点B到B2所经过的路径长为以OB为半径，90°为圆心角的弧长，2π×3π．
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华东师大版27.4 正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
5．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A． B． C． D．
6．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
7．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（ ）
A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形
B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
二、填空题
8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC=________．
9．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_____．
10．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
三、解答题
12．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
13．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
14．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示（顶点是网格线的交点）
（1）请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1
（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
参考答案
1．C
解析：
因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°.
2．C
解析：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.
故选C.
3．D
解析：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
4．B
解析：
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
5．A
解析：
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于 ．
故选A．
6．D
解析：
解：正五边形的中心角为．
故选D
7．A
解析：
正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
故选A．
8．.
解析：
解：连接OB、OC，则∠E＝∠BOC，
∵O是正方形外接圆的圆心，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°．
9．
解析：
解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴△OBC的面积＝△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积＝．
故答案为
10．
解析：
试题解析：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
，
∴⊙O的内接六边形的面积为：6×=．
故答案为：.
11．115°
解析：
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
12．四边形各内角的度数分别是，，，.
解析：
依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
13．∠A=60°.
解析：
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
14．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
解析：
(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
15．（1）如图所示；见解析；（2）=π．
解析：
（1）如图；
（2）如图；
旋转过程中，点B到B2所经过的路径长为以OB为半径，90°为圆心角的弧长，2π×3π．
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