26.2.3 求二次函数的表达式（含解析）
文档属性
| 名称 | 26.2.3 求二次函数的表达式（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-23 18:40:03 | ||
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文档简介
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华东师大版26.2.3求二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
2．已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象经过（1,3），（0,1）两点，则b，c的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-11 B．-2 C．1 D．-5
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( )
A．此抛物线的解析式为
B．当时，随着的增大而增大
C．此抛物线与直线只有一个交点
D．在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
9．如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、两点．若，，则的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
10．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
11．已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次函数的解析式为______．
12．已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为______．
13．抛物线经过点（，）、（，）两点，则关于的一元二次方程的解是______________．
三、解答题
14．已知二次函数的图象过点P（2，0），对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1．
（1）求顶点坐标；
（2）求二次函数的解析式．
15．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.
16．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．
（1）请求出以上两个函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求的面积．
参考答案
1．D
解析：
【分析】
利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
解析：
解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选：D
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
2．C
【分析】
把点代入，求解即可.
解析：
解：把点代入，得：
解得：a=2
故选：C
【点睛】
本题考查待定系数法，正确代入求值是本题的解题关键.
3．A
【分析】
把分别代入四个选项中的解析式，即可判断．
解析：
解：．把代入得，故函数经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
故选：．
【点睛】
本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
4．C
【分析】
将分别代入抛物线中，转化为解关于n、b的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．
解析：
将代入中得，
把①代入②，解得，
把代入①得
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
解析：
∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B错误
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故选D
【点睛】
本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图像和性质是解题的关键.
6．B
【分析】
把（1,3），（0,1）两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可
解析：
把（1,3），（0,1）代入得 ，解得
所以选B.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
7．D
解析：
【分析】
由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
解析：
解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
8．C
【分析】
利用CO=2AO，而CO=BO，AB=3，可得出AO=1，BO=OC=2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为-，可得此抛物线与直线y=-只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案.
解析：
解：∵CO=2AO，而CO=BO，AB=3，
∴AO=1，BO=OC=2，即A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
∴二次函数的解析式为y=x2-x-2，故A错误．
∵二次函数的对称轴为x=，
∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误．
∵此二次函数的最小值为-，
∴此抛物线与直线y=-只有一个交点，C正确．
∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.
9．D
【分析】
先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a<0，010-h，然后解不等式后进行判断．
解析：
∵抛物线的对称轴为直线x=h,
而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上，
∴h?0>10?h，解得h>5.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
10．等
【分析】
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
解析：
设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
11．
【分析】
求函数的解析式的方法是待定系数法，可以设函数的解析式是y=ax2+bx+c，把(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点的坐标代入就得到一个关于a、b、c的方程组，就可以求出函数的解析式．
解析：
解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，
把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三点的坐标代入得到：
，
解得：，
因而函数的解析式是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．
12．6．
【分析】
由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），代入得a与b的关系3a+b=-2，再整体代入求代数式的值即可．
解析：
由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），
将点（3，2）代入抛物线的：2=9a+3b+8，
整理得：3a+b+2=0，
当3a+b=-2时，
代数式3a+b+8=-2+8=6，
则代数式3a+b+8的值为6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查代数式的值问题，掌握利用抛物线过点来解决式子的值，会利用式子的值解决问题是关键．
13．，
【分析】
由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得．
解析：
依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－2)2＋c＝2b－bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为，．
【点睛】
本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键．
14．（1）顶点坐标为（4，3）；（2）y=﹣（x﹣4）2+3．
解析：
【分析】
(1)直接由对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，可得顶点坐标.
(2) 设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3,代入P点坐标可求得二次函数的解析式.
解析：
解：（1）∵对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，
∴y=3，
∴顶点坐标为（4，3）；
（2）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3，
把点P（2，0）代入得，a（2﹣4）2+3=0，
解得：a=﹣，
∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣4）2+3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的对称轴的求法及待定系数法求二次函数解析式.
15．（1）图见解析，点；（2）.
【分析】
(1) 先由条件求出A点的坐标, 再根据中心对称的性质求出、 的坐标, 最后顺次连接、, △OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.
(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.
解析：
（1）如图，点.
（2）设二次函数的关系式是，
?把（4，2）代入上式得，，
即二次函数关系式是.
【点睛】
本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.
16．（1）一次函数表达式为，二次函数表达式为；（2） (2，-4)；（3）
【分析】
（1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标；
（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H，利用S△OAB=OG?|A的横坐标|+OG?|点B的横坐标|，求解即可．
解析：
（1）一次函数的图象相过点，
，解得
一次函数表达式为，
∵y=ax2过点A(-1，-1),
∴-1=a×(-1)2，解得a= -1
∴二次函数的解析式为
（2）由一次函数与二次函数联立可得解得，
∴B(2，-4)
（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H
在y=-x-2中，令x=0，得y= -2
∴
由（2）得BH=2
∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=×2×1+×2×2=1+2=3．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，题目较为基础，难度较低，解题的关键是正确的求出点B的坐标．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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华东师大版26.2.3求二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
2．已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象经过（1,3），（0,1）两点，则b，c的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-11 B．-2 C．1 D．-5
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( )
A．此抛物线的解析式为
B．当时，随着的增大而增大
C．此抛物线与直线只有一个交点
D．在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
9．如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、两点．若，，则的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
10．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
11．已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次函数的解析式为______．
12．已知抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为______．
13．抛物线经过点（，）、（，）两点，则关于的一元二次方程的解是______________．
三、解答题
14．已知二次函数的图象过点P（2，0），对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1．
（1）求顶点坐标；
（2）求二次函数的解析式．
15．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.
16．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．
（1）请求出以上两个函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求的面积．
参考答案
1．D
解析：
【分析】
利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
解析：
解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选：D
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
2．C
【分析】
把点代入，求解即可.
解析：
解：把点代入，得：
解得：a=2
故选：C
【点睛】
本题考查待定系数法，正确代入求值是本题的解题关键.
3．A
【分析】
把分别代入四个选项中的解析式，即可判断．
解析：
解：．把代入得，故函数经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
故选：．
【点睛】
本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
4．C
【分析】
将分别代入抛物线中，转化为解关于n、b的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．
解析：
将代入中得，
把①代入②，解得，
把代入①得
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
解析：
∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B错误
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故选D
【点睛】
本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图像和性质是解题的关键.
6．B
【分析】
把（1,3），（0,1）两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可
解析：
把（1,3），（0,1）代入得 ，解得
所以选B.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
7．D
解析：
【分析】
由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
解析：
解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
8．C
【分析】
利用CO=2AO，而CO=BO，AB=3，可得出AO=1，BO=OC=2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为-，可得此抛物线与直线y=-只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案.
解析：
解：∵CO=2AO，而CO=BO，AB=3，
∴AO=1，BO=OC=2，即A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
∴二次函数的解析式为y=x2-x-2，故A错误．
∵二次函数的对称轴为x=，
∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误．
∵此二次函数的最小值为-，
∴此抛物线与直线y=-只有一个交点，C正确．
∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.
9．D
【分析】
先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a<0，0
解析：
∵抛物线的对称轴为直线x=h,
而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上，
∴h?0>10?h，解得h>5.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
10．等
【分析】
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
解析：
设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
11．
【分析】
求函数的解析式的方法是待定系数法，可以设函数的解析式是y=ax2+bx+c，把(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点的坐标代入就得到一个关于a、b、c的方程组，就可以求出函数的解析式．
解析：
解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，
把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三点的坐标代入得到：
，
解得：，
因而函数的解析式是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．
12．6．
【分析】
由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），代入得a与b的关系3a+b=-2，再整体代入求代数式的值即可．
解析：
由抛物线y=ax2+bx+8经过点（3，2），
将点（3，2）代入抛物线的：2=9a+3b+8，
整理得：3a+b+2=0，
当3a+b=-2时，
代数式3a+b+8=-2+8=6，
则代数式3a+b+8的值为6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查代数式的值问题，掌握利用抛物线过点来解决式子的值，会利用式子的值解决问题是关键．
13．，
【分析】
由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得．
解析：
依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－2)2＋c＝2b－bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为，．
【点睛】
本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键．
14．（1）顶点坐标为（4，3）；（2）y=﹣（x﹣4）2+3．
解析：
【分析】
(1)直接由对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，可得顶点坐标.
(2) 设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3,代入P点坐标可求得二次函数的解析式.
解析：
解：（1）∵对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，
∴y=3，
∴顶点坐标为（4，3）；
（2）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3，
把点P（2，0）代入得，a（2﹣4）2+3=0，
解得：a=﹣，
∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣4）2+3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的对称轴的求法及待定系数法求二次函数解析式.
15．（1）图见解析，点；（2）.
【分析】
(1) 先由条件求出A点的坐标, 再根据中心对称的性质求出、 的坐标, 最后顺次连接、, △OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.
(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.
解析：
（1）如图，点.
（2）设二次函数的关系式是，
?把（4，2）代入上式得，，
即二次函数关系式是.
【点睛】
本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.
16．（1）一次函数表达式为，二次函数表达式为；（2） (2，-4)；（3）
【分析】
（1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标；
（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H，利用S△OAB=OG?|A的横坐标|+OG?|点B的横坐标|，求解即可．
解析：
（1）一次函数的图象相过点，
，解得
一次函数表达式为，
∵y=ax2过点A(-1，-1),
∴-1=a×(-1)2，解得a= -1
∴二次函数的解析式为
（2）由一次函数与二次函数联立可得解得，
∴B(2，-4)
（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H
在y=-x-2中，令x=0，得y= -2
∴
由（2）得BH=2
∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=×2×1+×2×2=1+2=3．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，题目较为基础，难度较低，解题的关键是正确的求出点B的坐标．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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