(共21张PPT)
第3章
一元一次方程
3.4
一元一次方程模型的应用
——和差倍分问题
1.
掌握最基本的数量关系：和差倍分关系；
2.
掌握最基本的等量关系：部分量+部分量=总量；
3.
通过例题和练习，学会运用一元一次方程模型
解决实际问题的步骤和方法；
4.
体验一元一次方程模型在实际问题中的应用价
值，培养分析问题、解决问题的能力。
填空：某湿地公园举行观鸟节活动，全价票为每人20元，半价票为每人10元.
(1)该公园共售出全价票x张，所得票款为
元；
(2)该公园共售出的半价票比成人票少400张，所得票款为
元；
(3)该公园在观鸟节活动中，所得总票款为
元。
20x
10(x-400)
20x+10(x-400)
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
全价票
20元/人
半价票
10元/人
该公园共售出1200张门票，得
总票款20
000元.问全价票和半价票各售出多少张？
怎样建立一元一次方程解上述票款问题？
所得全价票款+所得半价票款=总票款
第一步：读题，分析数量关系和等量关系
本题的数量关系是：
本题涉及的等量关系是：
票价×张数=所得票款
第二步：设未知数，并用未知数表示等量关系中的其
它数量，建立方程模型.
设售出全价票x张，则售出半价票(1200-x)张.把等量关系中的数量用代数式表示出来：
所得全价票款+所得半价票款=总票款
20x
10(1200-x)
20000
即得方程
20x+10(1200-x)=20000.
第三步：解方程，检验作答。
20x+10(1200-x)=20000.
去括号，得
20x+12000-10x=20000.
移项，合并同类项，得
10x=8000.
即
x=800.
半价票为
1200-800=400（张）.
因此，全价票售出800张，半价票售出400张.
某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，有几张椅子和几条凳子？
本问题中涉及的等量关系有：
椅子数+凳子数=16
①
椅子腿数+凳子腿数=60.
②
如果设椅子数为x个，则由①得凳子有(16-x)个,
于是②中的椅子腿数、凳子腿数就可用含x的代数式表示，从而列出一元一次方程.
解：设椅子数为x个，则凳子有(16-x)个，
去括号，得
移项，合并同类项，得
凳子数为16-12=4(条).
答：有12张椅子，4条凳子.
4x+
3(16-x)=60
.
根据题意，得
4x+48-3x=60
.
x=12.
还需检验解
的合理性
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立方程模型
明确数量关系，分析等量关系
设恰当的未知数
检验解的合理性
解方程
●数量之间的和差倍分关系是实际问题中的最基本的数量关系。根据数量关系，可把其中一个数量设为未知数，其他的量用含有这个未知数的代数式表示；
●部分量+部分量=总量、甲数量=乙数量，甲数量=乙数量×倍数(分率)是实际问题中最基本的等量关系。
1.
学校多媒体教室今年购进一批新电脑后，电脑总台数共达到了80台，已知新电脑的台数是旧电脑的3倍，则今年购进的新电脑的台数为
（
）
A.
15
B.
20
C.
45
D.
60
D
2.
一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，
设长方形的宽为xcm，根据题意所列方程，正确的是
（
）
A.
x+x+5=60
B.
x+x-5=60
C.
x+x+5=30
D.
x+x-5=30
3.
一个长方形的周长是60cm，且长比宽的比是3∶2，设
长方形长为3xcm、宽为2xcm，根据题意，所列方程为
。
C
3x+2x=30
4.
(邵阳中考)程大卫《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完，试问大、小和尚各有多少人？
?本题涉及的等量关系是：
大和尚分得的馒头个数+小和尚分得的馒头个数=100
?设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人.根据题意，可
列方程：
5.
足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，
负一场得0分。某队在某次比赛中共踢了14场球，其中
负5场，共得19分.问这个队共胜了多少场？
1.本题涉及的等量关系是：胜场得分+平场得分=19.
2.设这个队胜了x场，则平了(14-5-x)场.根据题意，可
列方程：3x+(14-5-x)=19.
6.
国庆期间，某单位组织员工去某地旅游，他们了解到A、
B两个旅行社的旅游价格都是每人300元，但有不同的优
惠方式：A旅行社可全员八折优惠；B旅行社九折优惠，
但可免2人费用。问单位的旅游人数为多少时，选择A、
B两个旅行社的旅游费用相同？
1.本题涉及的等量关系是：
选择A旅行社的费用=选择B旅行社的费用.
2.设这个单位有x人，根据题意，可列方程
300×0.8x=300×0.9(x-2).
7.
姜叔叔平时做点蔬菜小买卖，有一天他到蔬菜批发市场用250元采购了豆角和洋葱共80kg。下表是当天豆角和洋葱的批发价和零售价(单位：元/kg)：
(1)
姜叔叔这天采购了豆角和洋葱各多少千克？
(2)
按零售价把两种蔬菜卖完，姜叔叔可以赚到多少元？
豆角
洋葱
批发价
2
3
零售价
3
5
(1)
涉及的等量关系是：
采购豆角的钱+采购洋葱的钱=250元.
设采购豆角xkg，则采购洋葱(80-x)kg，可列方程
2x+3(80-x)=250.
(2)
利用：(售价-进价)×数量=利润，即可求得。
这节课你有哪些收获？
建立一元一次方程模型解决实际问题
建立一元一次方程模型解决实际问题的一般步骤
基本数量关系和等量关系：
——和差倍分(共19张PPT)
第3章
一元一次方程
3.4
一元一次方程模型的应用
——利润、利息问题
1.
掌握利润问题、利息问题的数量关系；
2.
通过例题和练习，学会建立一元一次方程模型
解决利润问题和利息问题；
3.
进一步掌握建立一元一次方程模型解决实际问
题的步骤；
4.
提高分析问题、解决问题的能力。
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立方程模型
明确数量关系，分析等量关系
设恰当的未知数
检验解的合理性
解方程
1.
某种型号的电脑每台的进价是3200元，售价是4000元。
卖一台这样的电脑的利润是
元；
2.
某种型号的电脑每台的进价是3200元，若销售电脑的利
润率是20%，则卖出一台电脑的利润是
元；
3.
某种型号的电脑每台进价是3600元，售价是4000元。卖
出5台这样的电脑的利润是
元.
800
640
2000
根据上面的三个问题，你能说出利润问题的数量关系吗？
售价-进价=利润
每台利润×数量=利润
进价×利润率=利润
某商店若将某型号彩电按标价的八折出售，则此时每台彩电的利润率是5％.
已知该型号彩电的进价为每台4000元，求该型号彩电的标价.
?分析等量关系可以这样做——
读题，想：这是什么问题？有哪些数量？这些数量之间的等量关系是什么？
本题涉及的等量关系是：售价-进价=利润
?根据等量关系画出线段图列方程——
设每台彩电的标价为x元，彩电的售价、利润表示如下图：
进价：4000元
现售价：0.8x元
标价：x元
利润：(4000×5%)元
根据线段图，可列方程：0.8x-4000=4000×5%.
?写出解答过程——
因此，彩电标价为每台
元.
5250
5250
解：设彩电标价为每台x元，根据等量关系，得
0.8x
-4000
=
4000×5%
解得
x=
.
2011年10月1日，杨明将一笔钱存入某银行，定期3年，年利率是5%.
若到期后取出，他可得本息和23000元，求杨明存入的本金是多少元.
顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息．利息=本金×年利率×年数．本问题中涉及的等量关系为：
本金+利息=本息和
解：设杨明存入的本金为x元，根据等量关系，得
化简，得
解得
答：杨明存入的本金是20
000元.
x+3×5%x=23
000，
1.15x=23
000.
x=20
000.
1.
一件衣服先按成本价提高50%标价，再按八折出售，
可以获利30元，这件衣服的成本价是
（
）
A.
120
B.
150
C.
200
D.
300
B
2.
某商店进了一批商品，每件商品的进价为80元，若想获利20%，则这件商品的售价应定为
（
）
A.
96
元
B.
100元
C.
106元
D.
112元
3.
小军把爸妈给的100元零花钱按活期存入银行，月利率
为0.15%，几个月后本金与利息和为100.9元，小军的
零花钱在银行存了
个月。
A
6
4.
某市发行足球彩票，计划将发行总额的49%作为奖金，若奖金总额为93100元，彩票每张2元，问应卖出多少张彩票才能兑现这笔奖金？
5.
2011年11月9日，李华在某银行存入一笔一年期定期存款，年利率是3.5%，一年到期后取出时，他可得本息和3105元，求李华存入的本金是多少元.
6.
元旦假期，4名家长带一群孩子去外地游玩，需要坐同一辆车。甲车主说
：“每人八折”，乙车主说：“
小孩七折，大人全价”。聪明的童童经过计算，发现无论坐谁的车，费用都一样。这群孩子的人数是
（
）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
C
?本题涉及的等量关系是：
坐甲的车的费用=坐乙的车的费用；
?设每人票价为a元，小孩有x人，则大人有(100-x)人.
根据题意，可列方程：0.8a(x+4)=4a+0.7ax.
即
0.8(x+4)=4+0.7x.
解得
x=8.
7.
(长春中考)学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠；结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但店铺获得同样多的利润。每套课桌的成本价是多少元？
8.
春夏交接期间，某服装专卖店进行库存清仓，将最后两款冬装特价出售，甲款冬装卖出7200元，盈利20%，乙款冬装卖出的钱与甲款冬装相等，但亏损20%。问该专卖店在这两笔交易中是盈利了还是亏损了？盈利(或亏损)了多少元？
设甲款冬装的进货金额为x元，乙款冬装的进货金额
为y元，根据售出金额-进货金额=盈利金额，进货金额-
金额=亏损金额，先求出进货金额，再求出盈利或亏损金
额，比较两笔交易的盈亏情况，即可得出答案。
解：设甲款冬装的进货金额为x元，则
7200-x=20%x，
解得
x=6000.
销售甲款冬装盈利：
6000×20%=1200（元）.
设乙款冬装的进货金额为y元，则
y-7200=20%y
解得
y=9000.
销售乙款冬装亏本：
9000×20%=1800（元）.
因此，在这两笔交易中，专卖店亏本了600元.
请你谈谈这节课有哪些收获？
建立一元一次方程模型解决实际问题
利润问题
利息问题
售价-进价=利润
单个利润×数量=利润
进价×利润率=利润
本金×利率×期数=利息
本金+利息=本息和(共23张PPT)
第3章
一元一次方程
3.4
一元一次方程模型的应用
——行程问题
1.
掌握行程问题的基本数量关系：速度×时间=路程；
2.
掌握相遇问题、追及问题中的等量关系；
3.
能建立一元一次方程模型解决相遇问题、追及问题；
4.
体会数学和生活的联系，感悟数学的应用价值。
1.解下列方程，并说说解一元一次方程的步骤。
2.
甲、乙两人分别以5km/h、6km/h的速度同时出发相向而行，1.5h相遇，相遇前两人相距多少km？
3.
根据“速度×时间=路程”写出：
(1)速度与路程、时间的关系式:
(2)时间与路程、速度的关系式:
速度=
时间=
路程
时间
路程
速度
星期天早晨，小斌和小强分别骑自
行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.
已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，
小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；
小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.
星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.
想：从加下划线的句子分析，本题涉及的等量关系是什么？
小斌到达时间-小强到达时间=他们到达的时间差
即
路程
小斌的速度
-
路程
小强的速度
=
0.5h
因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为
km.
15
解：设他们的家到雷锋纪念馆的路程为skm，根据等量关系，
解得
s=
.
得
15
小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.
已知小明骑车的速度为13
km/h，小红骑车的速度是12
km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.不管两人是同时出发，还是有一人先走，都有
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
(1)如果两人同时出发，则如图1所示：
图1
(2)如果小明先走30min，则如图2所示：
图2
解:(1)设小明与小红骑车走了xh后相遇，根据等量关系，得
13x+12x=20.
解得
x=0.8.
(2)设小红骑车走了th后与小明相遇，根据等量关系，得
13(0.5+t)+12t=20.
解得
t=0.54.
答:(1)经过0.8
h他们两人相遇；
(2)小红骑车走0.54h后与小
明相遇.
1.
A、B两地的公路长230km，两辆汽车同时从两地相向而行，甲车每小时行44km，乙车每小时行48km，两车在中途不停留，两车相遇时甲车行驶的时间是
（
）
A.
2小时
B.
2.4小时
C.
2.5小时
D.
3小时
C
2.
甲乙两人在600m环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是5.5m/s，乙的速度是4.5m/s，则他们第2次相遇时，两人都跑了
（
）
A.
60s
B.
100s
C.
120s
D.
150s
C
3.
在一次军事演习中，红方发现蓝方在其前面12km处，正以每小时5km的速度逃跑，红方立即以每小时8km的速度追赶，经过多少小时，红方可追上蓝方？（
）
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
B
4.
一群小朋友围成一圈做丢手绢的游戏，小琴把手绢丢到大梅身后，立即以每秒4米的速度向前奔跑，3秒后大梅发现了小手绢，立即以每秒5米的速度奋力追赶，大梅需追赶
秒才能追上小琴。
12
5.
甲、乙两名运动员在长为120m的直道AB上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向点A，到达A点后，又立即跑向点B，如此往返。若甲每秒跑4m/s，乙每秒跑5m/s，则起跑2分钟后，两人相遇的次数为
（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
B
画出线段图，可知每相遇1次，两人共同跑完路程120×2=240m.设每次相遇的时间为xs，可得，4x+5x=240，
解得
，因此，起跑后2分钟内两
人共相遇4次。
A
B
甲
乙
相遇
6.
小强一家三口在风景区旅游，他们从景点1出发，顺流划船到达景点3，又逆流划船到达景点2，共用了50min。已知船在静水中的速度为48m/min，水流速度为12m/min，景点1与景点2的距离是1080m，求景点2到景点3的距离.
景点1
景点2
景点3
分析：本题是航行问题，其基本数量关系是：
顺水航速=静水航速+水速，逆水航速=静水航速-水速。
本题涉及的等量关系是：
顺水航行时间+逆水航行时间=共用时间.
景点1
景点2
景点3
解：设景点2到景点3的距离为xm，根据题意得
景点1
景点2
景点3
整理得
解得
因此景点2到景点3的距离是720米。
行程问题中的基本数量关系是什么？
路程=速度×时间
速度
路程
时间
=
时间
路程
速度
=
行程问题有几种类型，一般的等量关系是什么？
相遇问题：甲行路程+乙行路程=总路程（相向而行）
追及问题：甲追路程=相隔路程+乙行路程(共27张PPT)
第3章
一元一次方程
3.4
一元一次方程模型的应用
——分段计费问题、方案问题
1.
掌握分段计费问题的数量关系，能列一元一次方程解决分段计费问题；
2.
能运用一元一次方程解决与已有方案有关的问题，能根据需要设计或选择解决问题的合理方案；
3.
体会数学和生活的联系，感悟数学的应用价值；体验克服解决问题的困难的过程，获得解决问题的经验。
1.某市规定：一户家庭月用电量在120度内(含120度)，按基础价每度0.6元收取电费，用电量超过120度以上，超过部分的电费按超标价每度0.8元收取。王大伯11月份用电200度，计算应交电费列式为
。
0.6×120+0.8×(200-120)
2.
在“十一”假期，5名学生随4名家长到公园去游玩，票价牌显示有两种购票方案：①成人票每张30元，学生票半价；②团体票(10人及以上)，按成人票六折优惠。选择哪种方案购票比较合算？
解：按方案①购票费用：30×0.5×5+30×4=195(元)。
按方案②购票费用：购10张票，30×0.6×10=180(元)。
因此，选择方案②购票比较合算。
在现实生活中，我们经常会遇到分段收取电费、水费等问题，以及解决方案的问题。上面两个问题通过计算就能得到问题的答案，但有的则要根据题目中的等量关系列出一元一次方程才能解答。
为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费
标准，规定：所交水费分为标准内与超标部分水费两部分，其中标准内水费为1.96元/t，超标部分水费为2.94元/t.
某家庭6月份用水
12t，需交水费27.44元．求该市规定的家庭月标准用水量.
本题有两种收费方式：
①
收标准内水费；②分段收费：标准内水费+超出部分水费.
那么某家庭6月份用水12t，需交费27.44元，是用哪种方式收费的呢？
可以这样确定：
如果按①收费，则应交水费为1.96×12=23.52元，小于所交水费27.44元，说明所交水费含有超标部分水费。因此可以确定收费方式为：②分段收费。
从“某家庭6月份用水2t，需交水费27.44元”你能分析出本题涉及的等量关系吗？
标准内水费+超标部分水费=该月所交水费
根据题目所求“该市规定的家庭月标准用水量”，应当怎样设未知数，才能根据上面等量关系列出方程？
设月标准用水量为xt，则标准内水费为1.96x元；超标部分用水量为(12-x)t，超标部分水费为2.94(12-x)元。从而，根据等量关系可以列出方程求解。
因此，该市家庭月标准用水量为8t.
解：设家庭月标准用水量为x
t，则超过用水量为(12-x)t.
根据题意，得
1.96x
+(12-x)×2.94
=
27.44.
解得
x=8.
分段收费问题中的数量关系有：
标准内单价×标准内数量=标准内收费金额；
超过部分单价×超过部分数量=超过部分收费金额.
分段收费问题中的常用的等量关系有：
标准内收费金额+超过部分收费金额=收费总金额.
现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好栽完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.
分析：观察下面植树示意图，想一想：
(1)相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？
(2)相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？
设原有树苗x
棵，由题意可得下表：
方案
间隔长
应植树数
路长
一
5
x+21
5(x+21-1)
二
5.5
x
5.5(x-1)
本题中涉及的等量关系是：
方案一的路长=方案二的路长
解
设原有树苗x棵，根据等量关系，
得
5(x+21-1)=5.5(x-1)
，
即
5(x+20)=5.5(x-1)
化简，
得
-0.5x=-105.5
解得
x=211
因此，这段路长为
5×(211+20)=1155
(m）.
答：原有树苗211棵，这段路的长度为1155m．
植树问题中的数量关系有：
②间隔数=应植树棵数
(只有两端都植树)；
③间隔数=应植树棵数+1
(两端都不植树).
路长：
路长=间隔长×间隔数
间隔数：①间隔数=应植树棵数-1
(两端都植树)；
方案问题的应用有：
2.
分析不同方案的等量关系列方程解决问题。
1.
方案优选。
1.
某出租车的收费标准是：行驶距离不超过3千米都收起步价5元，超过3km后，每增加1km，加收1.5元(不足1km按1km计费)，王某乘出租车从甲地到乙地共支付车费17元，他乘车的路程最远是
（
）
A.
10千米
B.
11千米
C.
15千米
D.
17千米
B
2.
某县教育局举行教师先进事迹汇报会，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，设座位有x排，根据题意，所列下列方程正确的是
（
）
A.
30x-8=31x+26
B.
30x+8=31x+26
C.
30x+8=31x-26
D.
30x-8=31x-26
C
3.
为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每户每月用电不超过150
kW·h，那么1kW·h电按
0.5元缴纳；
超过部分则按1
kW·h电0.8元缴纳.如果小张家某月缴纳的电费为147.8元，那么小张家该月用电多少？
4.
某道路一侧原有路灯106盏(两端都有)，相
邻两盏灯的距离为36m，现计划全部更换为
新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为
70m，则需安装新型节能灯多少盏？
解：设需安装新型节能灯x盏，则道路分成的段数为(x-30)，
根据题意，得：
70(x-1)=
36×(160-1).
即
70x=3850.
解得
x=55.
因此，需安装新型节能灯55盏.
5.
某校体育器材室要添置30副乒乓球拍和若干盒乒乓球，政府采购商场乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元.开学期间，采购商场推出两种优惠方案：方案一，全部按定价的九折优惠；方案二，每采购1副乒乓球拍赠1盒乒乓球。财会室通过计算，两种方案付款同样多，求购买的乒乓球有多少盒？
解：设购买乒乓球x盒，根据题意，可列方程：
0.9(40×30+10x)=
40×30+10(x-30).
即
1080+9x=900+10x.
解得
x=280.
因此，购买的乒乓球有280盒.
本题涉及的等量关系是：
方案1付费金额=方案2付费金额
6.
某牛奶加工厂现有鲜牛奶15.5t。可直接销售，也可加工成酸奶或奶片销售，但两种加工方式不能同时进行。各种产品的日加工吨数和每吨销售利润如下表：
日加工吨数
每吨销售利润(元)
鲜奶
——
600
酸奶
2.5
1500
奶片
1
2000
为使这批牛奶必须在8天内全部加工或销售完毕，该工厂设计了两种可行性方案：①尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；②将部分制成奶片，其余制成酸奶销售。哪种方案获利更多，为什么？
这是一个优选方案问题，可以分别求出两种销售方
案所获利润，再通过比较，筛选出获利较多的方案。
解：按方案①最多可加工奶片8天，可加工奶片8吨，所获
利润为：8×2000+(15.5-8)×600=20500(元)。
按方案②加工，设加工奶片x吨，根据题意，得
x+2.5(8-x)=15.5
解得
x=3
则加工酸奶15.5-3=12.5(吨)。
所获利润为：3×2000+12.5×1500=24750(元)。
因为24750＞20500，所以方案②获利更多。
分段收费方案问题
分段收费
方案问题
收费单价×数量=总价
标准内费用+超标费用=总费用
植树问题：间隔长×间隔数=路长
方案关系，方案优选
