沪科版数学九年级上册21.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
y=ax?+bx+c
(a≠0)
21.2
二次函数的图象和性质
第4课时
二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
本节目标
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h
,k)
(h
,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
引入新知
顶点坐标
对称轴
最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
?
?
?
?
?
?
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
问题1
怎样将
化成y=a(x-h)2+k的形式？
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2
你能说出
的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数
可以看作是由
怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4
如何画二次函数
的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
问题5
结合二次函数
的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
例1
画出函数
的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
y
···
···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解:
函数
通过配方可得
，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
练一练
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
y=ax?+bx+c
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x<
时，y随x的增大而减小；当
x>
时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<
时，y随x的增大而增大；当
x>
时，y随x的增大而减小.
例2
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即b≤1，故选择D
.
D
填一填
顶点坐标
对称轴
最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
(
,-6)
直线x=
合作探究
问题1
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1
___
0
b1
___
0
k2
0
b2
___
0
＞
＞
＜
k3
___
0
b3
___
0
＜
＞
＜
二次函数字母系数与图象的关系
x
y
O
问题2
二次函数
的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1
___
0
b1___
0
c1___
0
a2___
0
b2___
0
c2___
0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，x＜0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
x
y
O
a3___
0
b3___
0
c3___
0
a4___
0
b4___
0
c4___
0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，x=0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_____________________
a＜0
开口_____________________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号
对称轴在y轴的____侧
a、b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例3
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是
(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A.y轴
B.直线x=
C.
直线x=2
D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为(
)
D
巩固练习
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3）
4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是
.
直线x=1
（2）
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=
-9a；④若（-3，y1）,（
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（
）
A．①②③　　
B．①③④
C．①②④　
D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x=
0.5
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a
≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
本节小结
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册