(共32张PPT)
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
21.4
二次函数的应用
第3课时
二次函数应用中的其他问题
1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；(重点)
2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；
(难点)
3.进一步体会数形结合的数学思想方法.（难点）
学习目标
本节目标
行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，在此运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时急刹车，才能避免追尾呢？
引入新知
引例：行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km?h-1
0
10
20
30
40
50
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？
建立二次函数模型解决实际问题
新知讲解
【分析】
要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式时解答本题的关键.
解：
以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.
10
O
3
6
9
x
y
50
40
30
20
观察图中描出的这些点的整体分步，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y=ax?+bx+c
10
O
3
6
9
x
y
50
40
30
20
任选三组数据，代入函数表达式，得
解得
即所求二次函数表达式为
y=0.002x?+0.01x（x≥0）.
把y=46.5m代入上式，得
答：制动时车速为150km/h(＞110km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶.
解得
46.5=0.002x?+0.01x
x1=150（km/h）,
x2=-155（km/h）(舍去）.
对于二次函数不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.
总结归纳
例1
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
何时橙子总产量最大?
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
y=(100+x)(600-5x)=-5x?+100x+60000.
在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x/棵
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y/个
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
(x为正整数）
解函数应用题的步骤:
设未知数(确定自变量和函数);
找等量关系,列出函数关系式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出结论.
总结归纳
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是
元，销售利润
元.
探究交流
18000
6000
数量关系
（1）销售额=
售价×销售量;
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
营销问题
例2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x
≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0
≤x
≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即：y=-18x2+60x+6000.
例2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
6000
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x
≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0
≤x
≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
当
时,
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
即：y=-18x2+60x+6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
例3
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x
≥0，因此自变量的取值范围是
x
≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润
×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
y=(160+10x)(120-6x)
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，则
练一练
=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
y=(160+10x)(120-6x)
当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.
=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20
≤x
≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为
元.
25
巩固练习
2.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，
最大利润为1352.
x
y
5
16
O
7
3.
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7
≤x
≤13时，利润不低于16元.
4.
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利为y元.
（1）求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
解：y=(x﹣30)[60+2(70﹣x)]﹣500
=﹣2x2+260x﹣6500(30≤x≤70)；
（2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标，
并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
解：y=﹣2（x﹣65）2+1950，顶点是（65，1950），单价定为65元时，日均获利最多是1950元．
实际问题
数学模型
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
实际数据分析问题
营销中的抛物线问题
（营销问题，运动学问题）
转化的关键
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
本节小结
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册(共32张PPT)
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
21.4
二次函数的应用
第1课时
二次函数在面积最值中的应用
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
本节目标
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5;
(配方法)
(2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x=
；
顶点坐标：（
，
）；最大值：
.
引入新知
合作探究
问题1
二次函数
的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数
的最值由a及自变量的取值范围决定.
求二次函数的最大（或最小）值
新知讲解
问题2
当自变量x为全体实数时，二次函数
的最值是多少？
当a＞0时，有
，此时
.
当a＜0时，有
，此时
.
问题3
当自变量x有限制时，二次函数
的最值如何确定？
例1
求下列函数的最大值与最小值
x
0
y
解：
-3
1
（1）
当
时，
当
时，
典例精析
解：
0
x
y
1
-3
（2）
即x在对称轴的右侧.
当
时，
函数的值随着x的增大而减小.
当
时，
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数
的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=
30t
-
5t
2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
二次函数与几何图形面积的最值
由于抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，
当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小（大）
值
想一想：如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？
小球运动的时间是
3s
时，小球最高.小球运动中的最大高度是
45
m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
例2
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1
矩形面积公式是什么？
典例精析
问题2
如何用l表示另一边？
问题3
面积S的函数关系式是什么？
解:根据题意得
S=l(30-l),
即
S=-l2+30l
(0因此，当
时，
,
S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
变式1
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2
我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3
面积S的函数关系式是什么？
问题1
变式1与例题有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
设垂直于墙的边长为x米
问题4
如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5
如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
变式2
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
问题1
变式2与变式1有什么异同？
问题2
可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3
可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题4
当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
问题5
如何求自变量的取值范围？
0
＜
x
≤18.
问题6
如何求最值？
由于30
＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
不正确.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
方法总结
例3
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围成一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？
解：设围成的矩形水面的一边长为x
m，则另一边为（20-x）m.若面积是Sm2，则S=x(20-x).
将这个表达式配方，得S=-(x-10)2+100(05
10
15
20
25
50
75
100
0
x
y
这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段，如图，顶点坐标为（10,100）.所以，当x=10时，函数取得最大值，即
S最大值=100m2.
此时，另一边长=20-10=10(m).
答：当围成的矩形水面边长都为10m时，它的面积最大为100m2.
5
10
15
20
25
50
75
100
0
x
y
例4
用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为x
m，则高为
m.这里应有x＞0，
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
即
配方得
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时
因此，所做矩形窗框的宽为1
m、高为1.5
m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5
m2.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.
巩固练习
2.如图1，在△ABC中，
∠B=90
°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过
秒，四边形APQC的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为
，
依题意得：
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
4.
某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
25
m
D
A
C
B
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
5.
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，
为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依
据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
本节小结
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册(共34张PPT)
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
21.4
二次函数的应用
第2课时
实物型抛物线及运动中的抛物线问题
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
本节目标
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！
引入新知
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
x
y
x
y
x
y
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
（4）y=ax2+bx+c
O
O
O
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
合作探究
利用二次函数解决实物抛物线形问题
新知讲解
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
-2
-4
2
1
-2
-1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出
因此，
，其中
｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解得
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时
从而
因此拱顶离水面高1.125m
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
例1
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900
m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5
m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5
m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y
x
O
-450
450
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a?4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y
x
O
-450
450
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y
x
O
-450
450
解：当x=450－100=350（m）时，得
当x=450－50=400（m）时，得
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20
m，拱顶距离水面
4
m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
O
A
C
D
B
y
x
20
m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
练一练
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式：
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛是竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2),
t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的
初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是
多少？
(1)问排球上升的最大高度是多少？
解：根据题意，得
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）.
即上升的最大高度为5m.
(2)
已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？
解得
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度，但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
解：当h=2.5
m时，得
例3：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a=－0.2，
k=3.5，
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为
y=a(x-0)2+k
，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当
x=－2.5时，y=2.25
.
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
4
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.
x
y
O
2
巩固练习
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
C
4.
某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0)
;
同理，点
D的坐标为(-2.5,0)
.
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－
(x-1)2+2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2
.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？???????
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴
????????????????，解得k=
???????????，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
本节小结
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
