（试题3）11.3角的平分线的性质

角平分线（同步测控）
一、选择题
1. 2007广东茂名课改）的角平分线AD交BC于 点D，，则点D到AB的距离是（　　）
A．1　 B．2 　　 C．3 　　　　 D．4
2. （2007浙江义乌课改） 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）
A．3　 B．4　　 C．5　 D．6
3. (2007广东课改)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点
4. （2006　贵港课改）已知：如图，是的角平分线，且，则与的面积之比为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. （2005 盐城）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小
关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．不能确定
6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（ ）
A．SAS B。SSS C。ASA D。AAS
7． 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处（ ）A.1 B.2 C.3 D.4
8. （2008山东潍坊）如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE，
二、填空题
9. （2006　芜湖课改）如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是　　　　　　cm．
10. (2006 重庆课改)如图所示，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1．请在图中清晰标出使以A，B，Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．
11如图2，P是∠AOB的平分线上一点． PC⊥AO于C，PD⊥OB于D， 写出图中一组相等的线段　　　　．（只需写出一组即可）
12在中∠BAC和∠ABC的平分线相交于P，若P到AB的距离为10，则它到边AC和BC的距离和为　　　　．
13．在中，，∠A和∠B的平分线相交于点P，则∠BPA=　　　　。
14(2008年双柏县)如图，点在的平分线上，若使，
则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：
三，证明题
15. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。
图3
已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
17如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
18（2008浙江衢州）(本题8分)如图，AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
四、猜想、探究题
19. （2006　北京课改B）如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形．
　　请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；
（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，
请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：画图：
（1）与之间的数量关系为　　　　　　　　　．
（2）
答案：
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. Ｂ
5. B
6. B
7. D分析：到两条相互交叉的公路距离相等的地点应在它们交叉角的平分线上，如果到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，如图4所示，有四处，分别是L、L、L、L．
评注：这是一道融知识、技能、方法与能力与一体的考题，既考查了利用角平分线性质的设计能力，又考查了学生的想象能力和创新意识．
8．A
二、填空题
9. 3 10.
11析解：本题有一定的开放性，答案不惟一．
　　由角的平分线的性质，可得PC = PD；
　　由△ODP≌△OCP，可得OC = OD．
12．20， 13. 14。OA=OB
三，证明题
15分析：BD平分，DE//BC ，易证
又，CD平分
而
16分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.
17分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2
在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE（SAS）,
∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，
∴
18解：(1)作图略；
(2)取点F和画AF正确(如图)；
添加的条件可以是：F是CE的中点；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.
七、猜想、探究题
19. 解：图略．
　　（1）与之间的数量关系为．
　　（2）答：（1）中的结论仍然成立．
　　证法一：如图，在上截取，连结．
　　因为，为公共边，
　　可证．
　　所以，．
　　由，分别是的平分线，
　　可得．
　　所以．
所以．
由及为公共边，可得．
所以．所以．
证法二：如图5，
过点分别作于点，于点．
因为，且，分别是，的平分线，
所以可得，是的内心．
所以，．
又因为，
所以．
因此可证．
所以．
A
B
C
D
A
B
P
D
C
O
图4-1
图2-1
B
A
D
C
N
P
M
O
图1
图2
A
C
D
B
E
F
F
B
E
A
C
D
图3
A
B
C
C
C
图4-2
图4-3
图2-2
C
A
B
D
E
P
F
F
B
E
A
C
D
2
１
4
3
G
F
B
E
A
C
D
图5
2
１
4
3
H
Ｇ