江苏省泰州市两校2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题 Word版含答案

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2020—2021学年度第一学期南菁中学、泰兴中学联考
高一年级期中考试 数学试卷
本试卷 满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）B
A. B. C. D.
2. 不等式的解集为（ ）A
A. B. C. D.
3. 函数且的图象恒过的定点是（ ）B
A. B. C. D.
4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（　　）D
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若是任意实数，且,则（　　）C
A． B． C． D．
6．若命题“R，”为假命题，则的取值范围是（ ） B
A． B． C．或 D．或
7．已知函数是定义在上的偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式成立的是（ ）D
A． B．
C． D．
8．函数（）的图象不可能为（ ）C

A． B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）
9．如果，那么（ ）AD
A． B． C． D．
下列函数中，在上为增函数的有（ ）CD
A． B． C． D．
11．下列说法正确的有（ ）ACD
A． 命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D．已知正数满足，则的最小值为
12．设函数，则下列命题中正确的有 （ ）ABC
A．若，则
B．方程可能有三个实数根
C．当时，函数在是单调增函数
D．当时，函数在上有最小值
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为 ．
14．已知函数，则的最小值为 ．
15. 已知幂函数过点，则 ．
16．设函数，若，且，则的最小值为 ．
四、解答题（共6小题，共70分. 解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10分）
（1）计算： ；
（2）已知，求．
17．解：(1)原式=． ……………………5分
（2）∵，∴，…………………………………………7分
∴，
又，…………………………………9分
∴ 原式．…………………………………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知集合，且.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围．
18．解：（1）∵，∴，………………………2分
∵是的充分条件, ∴，∴，…………………………………4分
∴,∴实数的取值范围为．……………………………………………6分
（2）∵命题“”为真命题，∴或，………………………………8分
解得或．………………………………………………………………………10分
又∵，∴实数的取值范围为．………………………………12分
（本小题满分12分）
新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入成本万元．当年产量不足千件时，；当年产量不小于千件时，．每千件商品售价为万元．在疫情期间，该公司的药品能全部售完．
写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（利润 = 销售收入成本）
（2）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资．当年产量为多少千件时，该公司在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
19.解：（1）当时，，
…………………………………………………………………………………………………2分
当时，，…4分
所以．…………………………6分
（不写扣1分）
当时，,
此时，当时，取得最大值万元；…………………………………………8分
当时，,
当且仅当时等号成立，此时，当时，取得最大值万元．…10分
由于，所以当年产量为千件时，该公司在这一药品的生产中所获利润最大，此时可捐赠万元的物资款． …………12分
20．（本小题满分12分）
若实数满足，则称比远离．
若比远离0,求的取值范围；
已知，求证：；
(3)对任意两个不相等的正实数，求证:比远离．
20．解：（1）由题意得 或
…………………………3分
（2）∵，∴，当且仅当时取等号. …5分
（其他方式证明同样给分）
（3）由（2），又不相等，所以 ……………6分
因为，且不相等，所以…8分
所以
………………………10分
所以所以比远离 …12分
21.(本小题满分12分)
已知函数（是自然对数的底）.
（1）若，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数为奇函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．
21．解：（1）若，则，
∵，，∴，且，
∴既不是奇函数，也不是偶函数. …………………………………………4分
(结论对，但理由不充分的扣2分)
（2）为奇函数，，
，，∴，………………………………………6分
(用特值做不检验的扣1分)
，
因为，因为，所以，(不说明扣1分)
所以，…………………8分
又，，………………10分
当且仅当即时取最小值． …………………………11分
所以． ………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知函数（为实常数）．
（1）若函数图象上动点到定点的距离的最小值为，求实数的值；
（参考公式：已知平面上两点，，则、两点间的距离公式为
）
（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
（3）设，若不等式在时有解，求实数的取值范围.
22.解：（1）∵，∴
∴
当时，解得；当时,解得.
或. ………………………………3分
设区间上上的任意两个值,且，
∵函数在区间上是增函数，∴，
∴，
∵，∴，
∴，即， ………………………………5分
又∴，的取值范围. …………………………7分
（3）由,得，
，令,记，
∵不等式在时有解，∴时，有解,
∴，……………………………………………………9分
当，即时，；
当，即时，；
综上, 当时,，
当时, . ………………………………12分