5.2.3平行线的性质 教案

5.2.3平行线的性质
教学目标
使学生掌握平行线的三个性质，并能应用它们进行简单的推理论证。
使学生经过对比后，理解平行线的性质和判定的区别和联系。
通过推理论证教学，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
培养学生从特殊到一般发现问题的能力。
培养学生逆向思维的能力。
教学重点和难点
平行线的三个性质及其应用是本节的重点，正确理解性质和判定的区别和联系以及运用它们去推理证明是本节的难点。
教学过程设计
逆向联想，提出问题
我们学了哪些判定平行的方法？在学生回答的基础上，教师用投影的形式的、打出其中三条。
同位角相等，两直线平行。（公理）
内错角相等，两直线平行。（定理）
同旁内角互补，两直线平行。（定理）
逆向联想，提出问题。
如果我们上面的三条判定方法，从反面思考和研究，即把条件和结论交换一下，便得到以下三条平行线的性质。（板书）
两条直线平行同位角相等。
两条直线平行，内错角相等。
两条直线平行，同旁内角互补。
这节课我们就是要研究它们是否成立。（板书课题）
由于每个问题的条件和结论交换得到的新的问题不一定正确，如：“对顶角相等”是成立的，但它的反面问题“相等的角是对顶角”就不成立，又如：“两直线相交成直角，这两条直线互相垂直”，它的反面问题是“两条直线互相垂直，这两条直线相交所成的角是直角”，它们同时成立。
所以上面三条性质还不能说是正确的，因此只能说是猜想，即：
猜想（1）：两直线平行，同位角相等；
猜想（2）：两直线平行，内错角相等；
猜想（3）：两直线平行，同旁内角互补。
（在教学过程中，把上面三条件性质前面加上“猜想”两字就行了。）
实验观察，演绎推理，发现平行线的性质
实验观察，发现平行线第一个性质。（公理）
下面先对第一个猜想进行实验观察
请学生画图2-63（1）。 1 L1
设L1∥L2,L3与它们相交,请度量 ∠1和∠2的大小, 3
你能发现什么关系?
答：∠1=∠2。 2 L2
这是偶然的吗？请 同学们在用图 2-63（1），
再作出直线j4，再度量一下∠3和∠4的大小，
你还能发现它们有什么关系？
答：∠3=∠4。
由这两次实验活动，你能发现什么规律？
答：说明猜想1是成立的。
师：由于猜想1是由实践活动证实成立的。因此，我们把它当公理。（板书：把上述猜想改为平行线性质1，并在后面加上“公理”两字。）
平行线性质1（公理）：两直线平行，同位角相等。
演绎推理，发现平行线的其它性质。 E
下面运用这条公理去证明另外两个猜想成立。
已知：如图2-63（2），直线AB，CD被直线EF所截， A 3 B
AB∥CD。 1
求证：∠1=∠2。
证明：因为 AB∥CD，（已知） 2
所以 ∠2= ∠3。（两直线平行，同位角相等） C D
因为 ∠3=∠1，（对顶角相等）
所以 ∠2=∠1。（等量代换）
F 图 2-63 (2)

已知：如图示-2-64，直线AB，CD被直线EF所截， E
AB∥CD。 3
求证：∠1+∠2=180°。 A B
证明：因为 AB∥CD，（已知） 1
所以 ∠3=∠2。（两直线平行，同位角相等） C 2 D
∠ 3+∠2=180°，（邻补角）
所以 ∠1+∠2=180°。（等量代换） F 图 2-64
在此基础上指出：猜想2和猜想3是成立的。并将前面的猜想3分别改为“平行线的性质2（定理）和“平行线的性质3（定理）”。

平行线判定与性质的区别与联系
投影：将判定与性质各三条全部打出。
问：它们的区别和联系是什么？
可以从以下两个方面看。
从因果关系上看：
性质：因为两条直线平行，所以……。
判定：因为内错角相等，所以……。
性质与判定的因果关系是相反的。
从所起作用上看：
性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补。
判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行，联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的。
应用举例变式练习（采用讲练结合方式教学）（四个例题供课堂选用）
如图2-65，AB∥CD,AC∥BD。找出图中相等的 角与互补的角。
此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截。
答：相等的角为：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。
互补的角为：∠BAC+∠ACD=180°,∠ABD+ A 3 1 6 8 B
∠CDB=180°,∠CAB+∠DBA=180°,
∠ACD+∠BDC=180°。
相等的角还有：∠ACD=∠ABD，∠BAC=∠BDC。
（同角的补角相等） C 7 5 2 4 D
图 2-65
如图2-66。已知：AD∥BC, A D
AEF=∠B,求证：AD∥EF。
分析：（执果索因）从图直观分析， E F
欲证AD∥EF，只需∠A+∠AEF=180°，
（由因求果）因为 AD∥BC，所以
∠A+∠B=180°，又∠B=∠AEF。所以 B C
∠A+∠AEF=180°成立。于是得证。 图 2-66
证明：因为 AD ∥BC，（已知）
所以 ∠A+∠B=180°。（两直线平行，同旁内角互补）
因为 ∠AEF=∠B，（已知）
所以 ∠A=∠AEF=180°，（等量代换）
所以 AD∥EF。（同旁内角互补，两条直线平行）
如图2-67，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD。
求证：∠1+∠2=90°。
证明：因为 AB∥CD， A B
所以 ∠BAC+∠ACD=180°， 1 E
又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， 2
所以 ∠1=1/2∠BAC, ∠2=1/2∠ACD C D
故 ∠1+∠2 = 1/2 (∠BAC + ∠ACD)
= 1/2 × 180o =90 o
即 ∠1+∠2=90o 1 3
(理由略) A M B
如图2-68，已知：∠1=∠2， 2
求证：∠3+∠4=180o C 4 D
分析：（让学生自己分析） F G
证明：（学生板书）
教师根据情况，让同学们评议各步骤是否正确，最后综合大家的意见，写出正确的证明过程。
小结
我们是如何得到平行线的性质定理？在学生回答的基础上，老师指出：通过运用从特殊到一般的思维方式发现性质1（公理），然后由公理通过演绎证明得到后面两个性质定理。
性质定理和判定定理的区别与联系。（可以从因果关系和所起的作用来看）
解题思路的探索，要根据图形直观，把“由因索果”和“执果索因”结合起来进行分析。
作业 E
选用课本题。 A M B
选用题： H
如图2-69，已知：AB ∥CD，MG平分 G
∠AMN ,NH平分∠DNM， C D
求证：MG∥NH。 N
如图2-70。已知：AB∥CD，∠A=C， F 图 2-69
求证：AD∥BC。 D C
如图2-71，EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，
求证：∠AGD=∠ACB。 图2-70
如图2-27。已知：AB∥DE，∠ABC+∠DEF=180°, A B
求证：BC∥EF。 D C
如图2-73。已知：∠1=∠2，，AC平分∠DAB， 2
求证：AB∥CD。
A A D
A B
D G B C 图 2-73
E 1
B 2 C F E
F