人教版数学九年级上册24.3：正多边形和圆 课件1（37张）

24.3正多边形和圆
教学目标
【知识与能力】
使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理.
通过正多边形定义教学，培养学生归纳、观察、推理、迁移能力.
教学重难点
正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理.
对定理的理解以及定理的证明方法．
探索新知
一、正多边形定义
各边相等，各角也相等的多边形.
几种常见的正多边形
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
生活中的正多边形图案
生活中的正多边形图案
二、正多边形的性质
60°
正n边形内角和：
(n－2)180°
108°
每条边都相等
每个角都相等
135°
轴对称图形，
一个正n边形共有n条对称轴，
每条对称轴都通过n边形的中心.
正多边形的性质
正五边形
正八边形
正三边形
什么叫中心？
边数是偶数的正多边形
是中心对称图形，
它的中心就是对称中心.
正八边形
正六边形
正多边形的性质
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
小练习
×
×
菱形的四个角不相等.
矩形的四条边不相等.
C
A
B
D
E
正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
定理证明
把圆分成 n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
三、内接正多边形
E
F
C
D
.
.
O
中心角
半径R
边心距
r
中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径.
正多边形的中心角:
正多边形的每一条边
所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
中心
四、正多边形及外接圆中的有关概念
E
F
C
D
.
.
O
中心角
A
B
G
边心距OG把△AOB分成
2个全等的直角三角形.
设正多边形的边长为a，半径为R，它的周长为L = na.
R
a
五、正多边形的有关计算
A
B
C
D
正多边形
外接圆
弦相等
多边形的边相等
多边形的角相等
圆周角相等
六、内接正多边形与外接圆的联系
把正n边形的边数无限增多，
正多边形
……
就接近于圆.
圆
由圆怎样得到正多边形？
把一个圆4等分，并依次连接这些点,得到正多边形吗??
探究
正方形
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
120 °
A
O
C
B
探究
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
一题多解
量角器作图
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
小练习
你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
探究
尺规作图
作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
F
A
D
E
.
.
O
B
C
r
R
P
解:
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
例题
A
B
C
D
E
O
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形.
小练习
把圆分成 n（n≥3）等份：
经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
七、外切正多边形
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
⌒
⌒
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
定理证明
正多边形
概念
计算
画法
应用
正多边形与圆的关系
正多边形的中心、半径、边心距、中心角
正多边形的对称性、相似性
半径、边心距、中心角的计算
边长、面积的计算
量角器等分圆周画正多边形
尺规作正方形、正六边形等
圆的周长、弧长及组合图形周长的计算
圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
课堂小结
1. 正n边形的一个内角的度数是____________;
中心角是___________；正多边形的中心角与外角的
大小关系是________.
相等
随堂练习
2. O是正△ABC的中心，它是△ABC的________圆与________圆的圆心.
外接
内切
3. OB叫正△ABC的________ ，它是正△ABC的________圆的半径. 　　　　　
4. OD叫作正△ABC的________ ，它是正△ABC的________ 圆的半径。
A
B
C
　.O
D
半径
外接
边心距
内切
A
B
C
D
E
5. 求证：正五边形的对角线相等.
证明：连结BD、CE，则
在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等.
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？
A
B
C
D
E
F
O
M
R
7. 已知圆内接正 n 边形的边长为 a, 求同圆外切正 n 边形的边长b为多少？ (用三角函数表示).
●
A
B
C
D
O
E
8. 正六边形ABCDEF的边长是a，分别以C、F为圆心，a为半径作弧，则图中阴影部分的周长是_____.
A
B
C
D
E
F
⌒
⌒
9. 等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
A
B
C
O
O’
⌒
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,则图中阴影部分的面积等于 ( )
A
B
C
D
O
A
●
A
B
C
D
E
F
11. 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米).
H
G
O
习题答案
3. 至少是 .
4. 正多边形是轴对称图形，奇数边的正多边形的对称轴是各个顶点和它的对边中点的连线，偶数边的正多边形的对称轴是对边中点的连线，当正多边形的边数为奇数时，它不是中心对称图形，当边数为偶数时，它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心.